求下列微分方程的通解.-|||-'+dfrac (1)(y)(e)^(y^2+3x)=0. ()

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，以及积分技巧的应用。

解题核心思路：

1. 将方程整理为变量可分离的形式，即把含$y$的项移到左边，含$x$的项移到右边。
2. 对两边分别积分，注意积分时添加常数。
3. 整理积分结果，得到通解。

破题关键点：

• 识别方程类型：通过观察方程结构，发现可以分离变量。
• 正确拆分指数项：将$e^{y^2 + 3x}$拆分为$e^{y^2} \cdot e^{3x}$，便于分离变量。
• 积分技巧：对含$y$的积分使用换元法，对含$x$的积分直接积分。

将原方程改写为：
$y' = -\frac{1}{y} e^{y^2 + 3x} = -\frac{e^{y^2}}{y} e^{3x}$

分离变量：
将方程两边乘以$y e^{-y^2} \mathrm{d}y$，得到：
$y e^{-y^2} \mathrm{d}y = -e^{3x} \mathrm{d}x$

积分求解：

1. 左边积分：
   令$u = -y^2$，则$\mathrm{d}u = -2y \mathrm{d}y$，即$y \mathrm{d}y = -\frac{1}{2} \mathrm{d}u$。
   积分变为：
   $\int y e^{-y^2} \mathrm{d}y = -\frac{1}{2} \int e^u \mathrm{d}u = -\frac{1}{2} e^{-y^2} + C_1$

2. 右边积分：
   $\int -e^{3x} \mathrm{d}x = -\frac{1}{3} e^{3x} + C_2$

合并结果：
将两边积分结果联立，整理得：
$-\frac{1}{2} e^{-y^2} = -\frac{1}{3} e^{3x} + C$
两边乘以$-6$，化简为：
$2e^{3x} - 3e^{-y^2} = C$