题目
设抛物线 :(y)^2=2px(pgt 0) 的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点,当直线MD-|||-垂直于x轴时, |MF|=3.-|||-(1)求C的方程;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定焦点F的坐标
抛物线 $C:{y}^{2}=2px(p\gt 0)$ 的焦点F的坐标为 $(\frac{p}{2},0)$。
步骤 2：确定点M的坐标
当直线MD垂直于x轴时，点M的横坐标为p，代入抛物线方程求得点M的纵坐标。将x=p代入$y^2=2px$，得到$y^2=2p^2$，因此$y=\pm p\sqrt{2}$。所以点M的坐标为$(p, p\sqrt{2})$或$(p, -p\sqrt{2})$。
步骤 3：计算|AF|的长度
根据题意，|AF|=3，其中A为点M，F为焦点。因此，我们计算点M到焦点F的距离。由于点M的横坐标为p，而焦点F的横坐标为$\frac{p}{2}$，所以点M到焦点F的水平距离为$p-\frac{p}{2}=\frac{p}{2}$。由于|AF|=3，且点M到焦点F的水平距离为$\frac{p}{2}$，所以点M到焦点F的垂直距离为$\sqrt{3^2-(\frac{p}{2})^2}$。由于点M的纵坐标为$\pm p\sqrt{2}$，所以有$p\sqrt{2}=\sqrt{3^2-(\frac{p}{2})^2}$。解这个方程，得到$p=2$。
步骤 4：确定抛物线C的方程
将$p=2$代入抛物线方程$y^2=2px$，得到$y^2=4x$。
抛物线 $C:{y}^{2}=2px(p\gt 0)$ 的焦点F的坐标为 $(\frac{p}{2},0)$。
步骤 2：确定点M的坐标
当直线MD垂直于x轴时，点M的横坐标为p，代入抛物线方程求得点M的纵坐标。将x=p代入$y^2=2px$，得到$y^2=2p^2$，因此$y=\pm p\sqrt{2}$。所以点M的坐标为$(p, p\sqrt{2})$或$(p, -p\sqrt{2})$。
步骤 3：计算|AF|的长度
根据题意，|AF|=3，其中A为点M，F为焦点。因此，我们计算点M到焦点F的距离。由于点M的横坐标为p，而焦点F的横坐标为$\frac{p}{2}$，所以点M到焦点F的水平距离为$p-\frac{p}{2}=\frac{p}{2}$。由于|AF|=3，且点M到焦点F的水平距离为$\frac{p}{2}$，所以点M到焦点F的垂直距离为$\sqrt{3^2-(\frac{p}{2})^2}$。由于点M的纵坐标为$\pm p\sqrt{2}$，所以有$p\sqrt{2}=\sqrt{3^2-(\frac{p}{2})^2}$。解这个方程，得到$p=2$。
步骤 4：确定抛物线C的方程
将$p=2$代入抛物线方程$y^2=2px$，得到$y^2=4x$。