题目
注：类似地，设数列x_{n)}由x_(1)in(-infty,+infty)和x_(n+1)=(1)/(3)x_(n)+(2)/(3)-(1)/(2)int_(1)^x_(n)e^-t^(2)dt(n=1,2,...)所确定证明：极限lim_(ntoinfty)x_(n)存在并求此极限.
注：类似地，
设数列$\{x_{n}\}$由$x_{1}\in(-\infty,+\infty)$和$x_{n+1}=\frac{1}{3}x_{n}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\int_{1}^{x_{n}}e^{-t^{2}}dt(n=1,2,\cdots)$所确定
证明：极限$\lim_{n\to\infty}x_{n}$存在并求此极限.
题目解答
答案
设数列 $\{x_n\}$ 由递推关系 $x_{n+1} = \frac{1}{3}x_n + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x_n} e^{-t^2} \, dt$ 定义。假设极限 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$ 存在，代入递推关系得：
\[
L = \frac{1}{3}L + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt.
\]
整理得：
\[
\frac{2}{3}L = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt \implies \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt = \frac{4}{3}(1 - L).
\]
令 $L = 1$，则两边均为0，满足方程。
考虑函数 $g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x} e^{-t^2} \, dt$，其导数为：
\[
g'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} e^{-x^2} \in \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right),
\]
满足 $|g'(x)| < 1$，故 $g(x)$ 为收缩映射，数列收敛于不动点 $L = 1$。
**答案：** $\boxed{1}$
解析
步骤 1：假设极限存在
假设数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，记为 $L$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$。将 $L$ 代入递推关系 $x_{n+1} = \frac{1}{3}x_n + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x_n} e^{-t^2} \, dt$，得到：
\[ L = \frac{1}{3}L + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt. \]
步骤 2：求解不动点方程
整理上述方程，得到：
\[ \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt. \]
进一步整理得到：
\[ \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt = \frac{4}{3}(1 - L). \]
令 $L = 1$，则两边均为0，满足方程。因此，$L = 1$ 是不动点方程的解。
步骤 3：证明数列收敛于不动点
考虑函数 $g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x} e^{-t^2} \, dt$，其导数为：
\[ g'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} e^{-x^2}. \]
由于 $e^{-x^2}$ 总是正的，且 $e^{-x^2} \leq 1$，因此 $g'(x) \in \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right)$，满足 $|g'(x)| < 1$。根据收缩映射定理，函数 $g(x)$ 是一个收缩映射，因此数列 $\{x_n\}$ 收敛于不动点 $L = 1$。
假设数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，记为 $L$，即 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$。将 $L$ 代入递推关系 $x_{n+1} = \frac{1}{3}x_n + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x_n} e^{-t^2} \, dt$，得到：
\[ L = \frac{1}{3}L + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt. \]
步骤 2：求解不动点方程
整理上述方程，得到：
\[ \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt. \]
进一步整理得到：
\[ \int_{1}^{L} e^{-t^2} \, dt = \frac{4}{3}(1 - L). \]
令 $L = 1$，则两边均为0，满足方程。因此，$L = 1$ 是不动点方程的解。
步骤 3：证明数列收敛于不动点
考虑函数 $g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x} e^{-t^2} \, dt$，其导数为：
\[ g'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} e^{-x^2}. \]
由于 $e^{-x^2}$ 总是正的，且 $e^{-x^2} \leq 1$，因此 $g'(x) \in \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right)$，满足 $|g'(x)| < 1$。根据收缩映射定理，函数 $g(x)$ 是一个收缩映射，因此数列 $\{x_n\}$ 收敛于不动点 $L = 1$。