题目
4.试证下列函数在z平面上任何点都不解析:-|||-(1)|z|;(2)-|||-x+y-|||-;(3)Rez;-|||-(4) dfrac (1)(2) -
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数|z|
函数|z|表示复数z的模，即$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中$z = x + iy$。为了判断函数是否解析，我们需要检查它是否满足柯西-黎曼方程（C-R条件）。
步骤 2：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$，计算偏导数$u_x$和$u_y$：
$$
u_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad u_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
$$
步骤 3：验证C-R条件
由于函数|z|是实函数，其虚部v(x,y) = 0，因此$v_x = v_y = 0$。根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，当$z \neq 0$时，$u_x \neq 0$和$u_y \neq 0$，因此C-R条件不成立。只有在原点处，$u_x = u_y = 0$，C-R条件成立，但原点处的可微性不足以保证函数在任何点都解析。
步骤 4：分析函数x+y
函数x+y表示复数z的实部和虚部之和，即$x + y$。同样，我们需要检查它是否满足C-R条件。
步骤 5：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = x + y$，计算偏导数$u_x$和$u_y$：
$$
u_x = 1, \quad u_y = 1
$$
步骤 6：验证C-R条件
由于函数x+y是实函数，其虚部v(x,y) = 0，因此$v_x = v_y = 0$。根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，$u_x \neq v_y$和$u_y \neq -v_x$，因此C-R条件不成立。
步骤 7：分析函数Rez
函数Rez表示复数z的实部，即$Rez = x$。同样，我们需要检查它是否满足C-R条件。
步骤 8：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = x$，计算偏导数$u_x$和$u_y$：
$$
u_x = 1, \quad u_y = 0
$$
步骤 9：验证C-R条件
由于函数Rez是实函数，其虚部v(x,y) = 0，因此$v_x = v_y = 0$。根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，$u_x \neq v_y$和$u_y \neq -v_x$，因此C-R条件不成立。
步骤 10：分析函数$\frac{1}{z}$
函数$\frac{1}{z}$表示复数z的倒数，即$\frac{1}{z} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$。同样，我们需要检查它是否满足C-R条件。
步骤 11：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$和$v(x,y) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$，计算偏导数$u_x$、$u_y$、$v_x$和$v_y$：
$$
u_x = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}, \quad u_y = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
$$
$$
v_x = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}, \quad v_y = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
$$
步骤 12：验证C-R条件
根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，当$z \neq 0$时，$u_x \neq v_y$和$u_y \neq -v_x$，因此C-R条件不成立。只有在原点处，$u_x = u_y = v_x = v_y = 0$，C-R条件成立，但原点处的可微性不足以保证函数在任何点都解析。
函数|z|表示复数z的模，即$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$，其中$z = x + iy$。为了判断函数是否解析，我们需要检查它是否满足柯西-黎曼方程（C-R条件）。
步骤 2：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$，计算偏导数$u_x$和$u_y$：
$$
u_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad u_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
$$
步骤 3：验证C-R条件
由于函数|z|是实函数，其虚部v(x,y) = 0，因此$v_x = v_y = 0$。根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，当$z \neq 0$时，$u_x \neq 0$和$u_y \neq 0$，因此C-R条件不成立。只有在原点处，$u_x = u_y = 0$，C-R条件成立，但原点处的可微性不足以保证函数在任何点都解析。
步骤 4：分析函数x+y
函数x+y表示复数z的实部和虚部之和，即$x + y$。同样，我们需要检查它是否满足C-R条件。
步骤 5：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = x + y$，计算偏导数$u_x$和$u_y$：
$$
u_x = 1, \quad u_y = 1
$$
步骤 6：验证C-R条件
由于函数x+y是实函数，其虚部v(x,y) = 0，因此$v_x = v_y = 0$。根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，$u_x \neq v_y$和$u_y \neq -v_x$，因此C-R条件不成立。
步骤 7：分析函数Rez
函数Rez表示复数z的实部，即$Rez = x$。同样，我们需要检查它是否满足C-R条件。
步骤 8：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = x$，计算偏导数$u_x$和$u_y$：
$$
u_x = 1, \quad u_y = 0
$$
步骤 9：验证C-R条件
由于函数Rez是实函数，其虚部v(x,y) = 0，因此$v_x = v_y = 0$。根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，$u_x \neq v_y$和$u_y \neq -v_x$，因此C-R条件不成立。
步骤 10：分析函数$\frac{1}{z}$
函数$\frac{1}{z}$表示复数z的倒数，即$\frac{1}{z} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$。同样，我们需要检查它是否满足C-R条件。
步骤 11：计算偏导数
对于函数$u(x,y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$和$v(x,y) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$，计算偏导数$u_x$、$u_y$、$v_x$和$v_y$：
$$
u_x = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}, \quad u_y = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
$$
$$
v_x = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}, \quad v_y = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
$$
步骤 12：验证C-R条件
根据C-R条件，需要满足$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$。显然，当$z \neq 0$时，$u_x \neq v_y$和$u_y \neq -v_x$，因此C-R条件不成立。只有在原点处，$u_x = u_y = v_x = v_y = 0$，C-R条件成立，但原点处的可微性不足以保证函数在任何点都解析。