题目
设区域D由曲线y=sinx,x=±π/2,y=1围成,则(xy5-1)dxdy=( )A. π。B. 2。C. -2。D. -π。
设区域D由曲线y=sinx,x=±π/2,y=1围成,则(xy5-1)dxdy=( )
A. π。
B. 2。
C. -2。
D. -π。
题目解答
答案
D. -π。
解析
步骤 1：确定积分区域
区域D由曲线y=sinx,x=±π/2,y=1围成。这意味着x的取值范围是[-π/2, π/2]，y的取值范围是[0, 1]。但是，由于y=sinx在[-π/2, π/2]区间内取值范围是[-1, 1]，因此y的取值范围实际上是[sinx, 1]。
步骤 2：计算二重积分
我们需要计算二重积分∫∫(xy^5-1)dxdy。由于y=sinx在[-π/2, π/2]区间内是奇函数，因此∫∫xy^5dxdy=0。因此，我们只需要计算∫∫(-1)dxdy。
∫∫(-1)dxdy = ∫[-π/2, π/2]∫[sinx, 1](-1)dydx = ∫[-π/2, π/2](-1)(1-sinx)dx = ∫[-π/2, π/2](-1+sinx)dx = [-x-cosx][-π/2, π/2] = -π。
区域D由曲线y=sinx,x=±π/2,y=1围成。这意味着x的取值范围是[-π/2, π/2]，y的取值范围是[0, 1]。但是，由于y=sinx在[-π/2, π/2]区间内取值范围是[-1, 1]，因此y的取值范围实际上是[sinx, 1]。
步骤 2：计算二重积分
我们需要计算二重积分∫∫(xy^5-1)dxdy。由于y=sinx在[-π/2, π/2]区间内是奇函数，因此∫∫xy^5dxdy=0。因此，我们只需要计算∫∫(-1)dxdy。
∫∫(-1)dxdy = ∫[-π/2, π/2]∫[sinx, 1](-1)dydx = ∫[-π/2, π/2](-1)(1-sinx)dx = ∫[-π/2, π/2](-1+sinx)dx = [-x-cosx][-π/2, π/2] = -π。