题目
(7) sum _(n=1)^infty dfrac (2n-1)({2)^n}(x)^2n-2;
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：确定级数的收敛半径
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{x}^{2n-2}$ 可以看作是关于 $x^2$ 的级数。令 $y = x^2$，则原级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{y}^{n-1}$。这是一个关于 $y$ 的幂级数，我们可以通过比值判别法来确定其收敛半径。
步骤 2：应用比值判别法
比值判别法的公式为 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$，其中 $a_n = \frac{2n-1}{2^n} y^{n-1}$。计算比值：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}} y^{n}}{\frac{2n-1}{2^n} y^{n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2n+1}{2n-1} \cdot \frac{1}{2} y \right| = \frac{1}{2} |y|
$$
收敛半径 $R$ 满足 $\frac{1}{2} |y| < 1$，即 $|y| < 2$。因此，$y$ 的收敛半径为 $2$。
步骤 3：确定原级数的收敛域
由于 $y = x^2$，所以原级数的收敛域为 $|x^2| < 2$，即 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$。当 $x = \pm \sqrt{2}$ 时，级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}$，这是一个发散的级数。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{x}^{2n-2}$ 可以看作是关于 $x^2$ 的级数。令 $y = x^2$，则原级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{y}^{n-1}$。这是一个关于 $y$ 的幂级数，我们可以通过比值判别法来确定其收敛半径。
步骤 2：应用比值判别法
比值判别法的公式为 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$，其中 $a_n = \frac{2n-1}{2^n} y^{n-1}$。计算比值：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}} y^{n}}{\frac{2n-1}{2^n} y^{n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2n+1}{2n-1} \cdot \frac{1}{2} y \right| = \frac{1}{2} |y|
$$
收敛半径 $R$ 满足 $\frac{1}{2} |y| < 1$，即 $|y| < 2$。因此，$y$ 的收敛半径为 $2$。
步骤 3：确定原级数的收敛域
由于 $y = x^2$，所以原级数的收敛域为 $|x^2| < 2$，即 $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$。当 $x = \pm \sqrt{2}$ 时，级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}$，这是一个发散的级数。