(7) sum _(n=1)^infty dfrac (2n-1)({2)^n}(x)^2n-2;

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛域求解，涉及变量替换、比值法求收敛半径以及端点收敛性分析。

解题核心思路：

1. 变量替换：将原级数中的$x^{2n-2}$替换为$y^{n-1}$，转化为关于$y$的幂级数，简化分析过程。
2. 求收敛半径：利用比值法确定新级数的收敛半径，进而得到$y$的范围。
3. 回代变量：将$y = x^2$代入，结合$x$的实际取值范围，确定原级数的收敛域。
4. 端点检验：验证边界点$x = \pm \sqrt{2}$处的收敛性。

破题关键点：

• 正确替换变量，将偶次幂转化为标准幂级数形式。
• 准确应用比值法，注意极限化简中的主导项。
• 结合变量替换后的约束条件（$y = x^2 \geq 0$），排除无效区间。

变量替换与级数转化

令$y = x^2$，原级数变为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} \cdot y^{n-1}$

求收敛半径

对新级数应用比值法：

1. 通项分析：$a_n = \frac{2n-1}{2^n} \cdot y^{n-1}$
2. 相邻项比值：
   $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n-1} \cdot \frac{y}{2} = \frac{|y|}{2}$
3. 收敛条件：$\frac{|y|}{2} < 1 \implies |y| < 2$，故收敛半径$R = 2$，收敛区间为$-2 < y < 2$。

端点检验

• 当$y = 2$时：通项为$\frac{2n-1}{2^n} \cdot 2^{n-1} = \frac{2n-1}{2}$，显然发散。
• 当$y = -2$时：通项为$\frac{2n-1}{2^n} \cdot (-2)^{n-1} = \frac{2n-1}{2} \cdot (-1)^{n-1}$，绝对值发散。

回代变量

由于$y = x^2 \geq 0$，有效区间为$0 \leq y < 2$，即$x^2 < 2$，对应$x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。