题目
设平面经过原点及.点 (6,-3,2), 且与平面 4x-y+2z=8 垂直,则此平面方程为 ()-|||-(A) x+2y-3z=0 (B) 2x+y-3z=0-|||-(C) 2x+2y+3z=0 (D) 2x+2y-3z=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平面方程的一般形式
由于平面经过原点，可以设平面方程为 Ax + By + Cz = 0，其中 A, B, C 是待定系数。
步骤 2：利用给定点 (6, -3, 2) 满足平面方程
将点 (6, -3, 2) 代入平面方程，得到 6A - 3B + 2C = 0。
步骤 3：利用平面与给定平面垂直的条件
平面 4x - y + 2z = 8 的法向量为 (4, -1, 2)，而所求平面的法向量为 (A, B, C)。由于两平面垂直，它们的法向量点积为零，即 4A - B + 2C = 0。
步骤 4：解方程组求解 A, B, C
联立两个方程：
\[ \left\{ \begin{matrix} 6A - 3B + 2C = 0 \\ 4A - B + 2C = 0 \end{matrix} \right. \]
解得 B = A, C = -\frac{3}{2}A。
步骤 5：确定平面方程
将 B = A, C = -\frac{3}{2}A 代入平面方程 Ax + By + Cz = 0，得到 A(x + y - \frac{3}{2}z) = 0。由于 A 不为零，可以取 A = 2，得到平面方程为 2x + 2y - 3z = 0。
由于平面经过原点，可以设平面方程为 Ax + By + Cz = 0，其中 A, B, C 是待定系数。
步骤 2：利用给定点 (6, -3, 2) 满足平面方程
将点 (6, -3, 2) 代入平面方程，得到 6A - 3B + 2C = 0。
步骤 3：利用平面与给定平面垂直的条件
平面 4x - y + 2z = 8 的法向量为 (4, -1, 2)，而所求平面的法向量为 (A, B, C)。由于两平面垂直，它们的法向量点积为零，即 4A - B + 2C = 0。
步骤 4：解方程组求解 A, B, C
联立两个方程：
\[ \left\{ \begin{matrix} 6A - 3B + 2C = 0 \\ 4A - B + 2C = 0 \end{matrix} \right. \]
解得 B = A, C = -\frac{3}{2}A。
步骤 5：确定平面方程
将 B = A, C = -\frac{3}{2}A 代入平面方程 Ax + By + Cz = 0，得到 A(x + y - \frac{3}{2}z) = 0。由于 A 不为零，可以取 A = 2，得到平面方程为 2x + 2y - 3z = 0。