证明积分f^(23))(x+2y)dx+(2x-y)dy 在整个f^(23))(x+2y)dx+(2x-y)dy平面上与路线无关，并计算积分值

步骤 1：验证线积分与路径无关
为了证明积分${\int }_{(2,1)}^{(-1)}(x+2y)dx+(2x-y)dy$在整个xoy平面上与路线无关，我们需要验证被积函数的偏导数是否满足全微分条件。即，我们需要验证$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial P}{\partial y}$，其中$P(x,y)=x+2y$，$Q(x,y)=2x-y$。
步骤 2：计算偏导数
计算$P(x,y)$关于$y$的偏导数$\dfrac {\partial P}{\partial y}$，以及$Q(x,y)$关于$x$的偏导数$\dfrac {\partial Q}{\partial x}$。
步骤 3：验证全微分条件
验证$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=\dfrac {\partial P}{\partial y}$，从而证明积分与路径无关。
步骤 4：计算积分值
由于积分与路径无关，我们可以选择一条方便计算的路径来计算积分值。这里选择从$(2,1)$到$(-1,1)$再到$(-1,3)$的路径。
步骤 5：计算积分
分别计算从$(2,1)$到$(-1,1)$和从$(-1,1)$到$(-1,3)$的积分，然后相加得到总积分值。