146 设f(x,y)在(0,0)点连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x,y)+3x-4y)({({x)^2+(y)^2)}^a}=2(agt 0), 则f(x,y)在(0,-|||-0)点可微的充要条件是-|||-(A) lt 1. (B) alpha lt dfrac (1)(2). (C) alpha geqslant dfrac (1)(2), (D) alpha gt dfrac (1)(2).

考查要点：本题主要考查二元函数在某点可微的条件，涉及极限、连续性与可微性的关系，以及不同阶无穷小对可微性的影响。

解题核心思路：

1. 利用极限条件表达f(x,y)：根据题目给出的极限条件，将f(x,y)表示为线性项与高阶无穷小的组合。
2. 判断可微性：根据可微的定义，验证f(x,y)的增量是否可分解为线性部分加上比距离更高速的无穷小。
3. 分析参数α的影响：通过比较$(x^2+y^2)^\alpha$与$\sqrt{x^2+y^2}$的阶数，确定不同α值下高阶无穷小的存在性。

破题关键点：

• 关键结论：当$\alpha > \frac{1}{2}$时，$(x^2+y^2)^\alpha$是比$\sqrt{x^2+y^2}$更高阶的无穷小，此时极限条件可推出f(x,y)的增量满足可微性。
• 反例分析：当$\alpha \leq \frac{1}{2}$时，通过沿特定路径（如y=0）计算偏导数，发现导数不存在，从而不可微。

步骤1：利用极限条件表达f(x,y)
由题意，当$(x,y) \to (0,0)$时，
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)+3x-4y}{(x^2+y^2)^\alpha} = 2.$
由此可得：
$f(x,y) + 3x - 4y = 2(x^2+y^2)^\alpha + o\left((x^2+y^2)^\alpha\right).$

步骤2：分析不同α值对阶数的影响

• 当$\alpha > \frac{1}{2}$时：
  $(x^2+y^2)^\alpha = \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^{2\alpha}$，由于$2\alpha > 1$，故$(x^2+y^2)^\alpha$是比$\sqrt{x^2+y^2}$更高阶的无穷小。此时：
  $f(x,y) - f(0,0) = -3x + 4y + o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right),$
  满足可微的定义。

• 当$\alpha = \frac{1}{2}$时：
  $(x^2+y^2)^{1/2} = \sqrt{x^2+y^2}$，此时：
  $f(x,y) - f(0,0) = -3x + 4y + 2\sqrt{x^2+y^2} + o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right).$
  沿y=0路径趋近于(0,0)，计算偏导数$f_x(0,0)$时，发现左右极限不相等，故偏导数不存在，不可微。

• 当$\alpha < \frac{1}{2}$时：
  $(x^2+y^2)^\alpha$是比$\sqrt{x^2+y^2}$更低阶的无穷小，无法被包含在$o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$中，导致增量中存在非线性项，不可微。