题目
3.利用极坐标计算下列二重积分:-|||-(1) iint (e)^(x^2+{y)^2}dx, 其中D是由 ^2+(y)^2=9 围成的闭区域;-|||-(2) iint ((x)^2+(y)^2)dtheta , 其中D是由 ^2+(y)^2=2ax 与x轴围成的上半部分的闭区域;-|||-(3) iint ln (1+(x)^2+(y)^2)domega , 其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及坐标轴围成的在第一象限内的闭-|||-区域;-|||-(4) iint sin sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdy, 其中D是由 ^2+(y)^2=(pi )^2, ^2+(y)^2=4(pi )^2 =x, y=2x 围成的在第-|||-一象限内的闭区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。
对于极坐标系，我们有 $x = r\cos\theta$ 和 $y = r\sin\theta$，其中 $r$ 是从原点到点的距离，$\theta$ 是从正x轴到点的连线与x轴的夹角。二重积分的微元 $dxdy$ 在极坐标系下变为 $rdrd\theta$。
步骤 2：确定积分区域在极坐标系下的表示。
对于每个问题，我们需要将给定的直角坐标系下的区域转换为极坐标系下的区域。这通常涉及到确定 $r$ 和 $\theta$ 的范围。
步骤 3：计算二重积分。
将被积函数转换为极坐标形式，然后根据确定的 $r$ 和 $\theta$ 的范围进行积分。
对于极坐标系，我们有 $x = r\cos\theta$ 和 $y = r\sin\theta$，其中 $r$ 是从原点到点的距离，$\theta$ 是从正x轴到点的连线与x轴的夹角。二重积分的微元 $dxdy$ 在极坐标系下变为 $rdrd\theta$。
步骤 2：确定积分区域在极坐标系下的表示。
对于每个问题，我们需要将给定的直角坐标系下的区域转换为极坐标系下的区域。这通常涉及到确定 $r$ 和 $\theta$ 的范围。
步骤 3：计算二重积分。
将被积函数转换为极坐标形式，然后根据确定的 $r$ 和 $\theta$ 的范围进行积分。