31.设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ^2),0lt xlt pi 0, . .-|||-求 =sin X 的概率密度.

步骤 1：确定 $Y$ 的取值范围
由于 $X$ 的取值范围是 $(0, \pi)$，而 $Y = \sin X$，因此 $Y$ 的取值范围是 $(0, 1)$。

步骤 2：计算 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来计算。由于 $Y = \sin X$，我们有：
$$
F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(\sin X \leq y)
$$
当 $0 < y < 1$ 时，$P(\sin X \leq y)$ 可以表示为：
$$
P(\sin X \leq y) = P(0 \leq X \leq \arcsin y) + P(\pi - \arcsin y \leq X \leq \pi)
$$
因此，$F_Y(y)$ 可以表示为：
$$
F_Y(y) = \int_0^{\arcsin y} \frac{2x}{\pi^2} \, dx + \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} \frac{2x}{\pi^2} \, dx
$$

步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$ 是 $F_Y(y)$ 的导数。因此，我们对 $F_Y(y)$ 求导：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y)
$$
计算 $F_Y(y)$ 的导数：
$$
f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( \int_0^{\arcsin y} \frac{2x}{\pi^2} \, dx + \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} \frac{2x}{\pi^2} \, dx \right)
$$
$$
= \frac{2}{\pi^2} \left( \arcsin y \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} + (\pi - \arcsin y) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \right)
$$
$$
= \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{1 - y^2}}
$$
$$
= \frac{2}{\pi \sqrt{1 - y^2}}
$$
当 $y \leq 0$ 或 $y \geq 1$ 时，$f_Y(y) = 0$。