设z=x+iy，则复变函数z=x+iy的导数为（ ）A.z=x+iyB.z=x+iyC.z=x+iyD.z=x+iy

考查要点：本题主要考查复变函数的导数计算，涉及欧拉公式的应用及复变函数求导法则。

解题核心思路：

1. 识别函数形式：将题目中的函数表达式转化为欧拉公式形式，简化计算。
2. 利用导数性质：若函数可表示为$e^z$，则其导数为自身。
3. 验证方法：通过Cauchy-Riemann方程或直接求导验证结果。

破题关键点：

• 欧拉公式：$e^{iy} = \cos y + i \sin y$，将原函数转化为$e^z$。
• 导数性质：$e^z$的导数仍为$e^z$，直接对应选项。

步骤1：函数形式转化
题目中$f(z) = e^x (\cos y + i \sin y)$，根据欧拉公式$e^{iy} = \cos y + i \sin y$，可得：
$f(z) = e^x \cdot e^{iy} = e^{x + iy} = e^z.$

步骤2：求导数
复变函数$e^z$的导数为自身，即：
$f'(z) = \frac{d}{dz} e^z = e^z = e^{x + iy} = e^x (\cos y + i \sin y).$

步骤3：匹配选项
对比选项，$e^x (\cos y + i \sin y)$对应选项D。