题目

7商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只-|||-次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,某顾客选中一箱,从中任选-|||-4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱,问这一箱含有-|||-一个次品的概率是多少?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合超几何分布计算不同情况下事件的概率。

解题核心思路：

  1. 确定事件关系：题目要求在“检查4只均为好品”的条件下，箱子含有1只次品的概率，属于典型的后验概率问题。
  2. 应用贝叶斯定理：需计算不同次品数（0、1、2）下“检查4只均为好品”的条件概率，再结合先验概率进行加权求和。
  3. 关键点：正确计算不同次品数对应的组合概率，避免混淆组合数的计算。

设事件定义如下：

  • $B_0$：箱子有0只次品，概率$P(B_0)=0.8$；
  • $B_1$：箱子有1只次品，概率$P(B_1)=0.1$；
  • $B_2$：箱子有2只次品，概率$P(B_2)=0.1$；
  • $A$：检查4只均为好品。

步骤1：计算条件概率 $P(A|B_i)$

  • 当 $B_0$ 发生时：所有杯子均为好品，因此 $P(A|B_0)=1$。
  • 当 $B_1$ 发生时：从19只好品中选4只，概率为：
    $P(A|B_1) = \frac{C(19,4)}{C(20,4)} = \frac{3876}{4845} \approx 0.8003$
  • 当 $B_2$ 发生时：从18只好品中选4只，概率为：
    $P(A|B_2) = \frac{C(18,4)}{C(20,4)} = \frac{3060}{4845} \approx 0.6316$

步骤2：计算全概率 $P(A)$
根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(A) &= P(A|B_0)P(B_0) + P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) \\&= 1 \times 0.8 + 0.8003 \times 0.1 + 0.6316 \times 0.1 \\&\approx 0.8 + 0.08003 + 0.06316 = 0.94319\end{aligned}$

步骤3：应用贝叶斯定理求 $P(B_1|A)$
$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A)} = \frac{0.8003 \times 0.1}{0.94319} \approx \frac{0.08003}{0.94319} \approx 0.0848$