计算x^3dx+3zy^2dy-x^2ydz,其中x^3dx+3zy^2dy-x^2ydz是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.

步骤 1：确定直线段AB的参数方程
直线段AB的方程是$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{1}$，化为参数方程得$x=3t$，$y=2t$，$z=t$，其中$t$从1变到0。

步骤 2：计算微分
根据参数方程，我们有$dx=3dt$，$dy=2dt$，$dz=dt$。

步骤 3：代入并计算积分
将$x=3t$，$y=2t$，$z=t$，$dx=3dt$，$dy=2dt$，$dz=dt$代入${x}^{3}dx+3z{y}^{2}dy-{x}^{2}ydz$，得到
${(3t)}^{3}3dt+3t{(2t)}^{2}2dt-{(3t)}^{2}2tdt$，
化简得$27{t}^{3}3dt+12{t}^{3}2dt-18{t}^{3}dt$，
进一步化简得$81{t}^{3}dt+24{t}^{3}dt-18{t}^{3}dt$，
合并同类项得$87{t}^{3}dt$。

步骤 4：计算定积分
计算定积分${\int }_{1}^{0}87{t}^{3}dt$，得到$87{\int }_{1}^{0}{t}^{3}dt$，
计算得$87\left[\dfrac{{t}^{4}}{4}\right]_{1}^{0}$，
代入上下限得$87\left[\dfrac{{0}^{4}}{4}-\dfrac{{1}^{4}}{4}\right]$，
计算得$87\left[0-\dfrac{1}{4}\right]$，
最终得$-\dfrac{87}{4}$。