(int )_(1)^2dfrac (sqrt {{x)^2-1}}(x)dx

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及根号和分式的积分，需要灵活运用三角替换法进行化简。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{x^2 - a^2}$的形式时，通常采用三角替换，令$x = a \sec \theta$，将根号内的表达式转化为$\tan \theta$，从而简化积分。本题中$a=1$，因此替换为$x = \sec \theta$，并结合三角恒等式$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$进行计算。

破题关键点：

1. 变量替换：选择$x = \sec \theta$，将积分区间转换为$\theta$的范围。
2. 化简积分式：利用三角恒等式将被积函数转化为$\tan^2 \theta$，进一步拆分为$\sec^2 \theta - 1$，便于积分。
3. 代入上下限：注意替换后上下限的对应角度值，代入计算最终结果。

步骤1：变量替换

令$x = \sec \theta$，则$dx = \sec \theta \tan \theta d\theta$。
当$x = 1$时，$\sec \theta = 1 \Rightarrow \theta = 0$；
当$x = 2$时，$\sec \theta = 2 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$。

步骤2：化简被积函数

原积分变为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta} \cdot \sec \theta \tan \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 \theta d\theta$

步骤3：利用三角恒等式

由$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$，积分变为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 \theta - 1) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 \theta d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} 1 d\theta$

步骤4：逐项积分

1. $\int \sec^2 \theta d\theta = \tan \theta + C$
2. $\int 1 d\theta = \theta + C$

因此，积分结果为：
$\left[ \tan \theta - \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

步骤5：代入上下限

当$\theta = \frac{\pi}{3}$时，$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$，对应项为$\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$；
当$\theta = 0$时，$\tan 0 = 0$，对应项为$0 - 0 = 0$。
最终结果为：
$\left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \right) - 0 = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$