5.简答题-|||-设连续型随机变量X的分布函数为-|||-F(x)= { ) 内的概率;(3)X的概率密度.

考查要点：本题主要考查连续型随机变量分布函数的性质、概率密度函数的求导方法，以及利用分布函数计算概率的基本思路。

解题核心思路：

1. 确定常数A：利用分布函数在无穷远处的极限为1，结合分段点处的连续性求解。
2. 计算概率：通过分布函数的差值公式 $P(a < X < b) = F(b) - F(a)$ 直接计算。
3. 求概率密度：对分布函数分段求导，注意分段点处的导数为0。

破题关键点：

• 分布函数的连续性：在分段点 $x=1$ 处，左极限等于右极限，从而确定A的值。
• 概率密度的分段性：根据分布函数的分段形式，分区间求导得到概率密度函数。

第（1）题：求常数A

利用分布函数的极限性质

分布函数在 $x \to +\infty$ 时应满足 $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。当 $x \geq 1$ 时，$F(x) = 1$，因此无需额外调整。

分段点处的连续性

在分段点 $x=1$ 处，左极限为 $F(1^-) = A \cdot 1^2 = A$，右极限为 $F(1^+) = 1$。根据分布函数的连续性，有：
$A = 1$

第（2）题：求 $P(-1 < X < \frac{3}{2})$

应用分布函数差值公式

$P(-1 < X < \frac{3}{2}) = F\left(\frac{3}{2}\right) - F(-1)$

代入分布函数分段表达式

• 当 $x = \frac{3}{2} \geq 1$ 时，$F\left(\frac{3}{2}\right) = 1$；
• 当 $x = -1 < 0$ 时，$F(-1) = 0$。

因此：
$P(-1 < X < \frac{3}{2}) = 1 - 0 = 1$

第（3）题：求概率密度函数

分段求导

概率密度函数 $f(x) = F'(x)$，分三段讨论：

1. 当 $x < 0$ 时：$F(x) = 0$，故 $f(x) = 0$；
2. 当 $0 \leq x < 1$ 时：$F(x) = x^2$，导数为 $f(x) = 2x$；
3. 当 $x \geq 1$ 时：$F(x) = 1$，故 $f(x) = 0$。

综上，概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\2x, & 0 \leq x < 1 \\0, & x \geq 1 \end{cases}$