题目
设数列xn与yn满足limn→∞xnyn＝0，则下列断言正确的是（ ）A. 若xn发散，则yn必发散B. 若xn无界，则yn必有界C. 若xn有界，则yn必为无穷小D. 若1xn为无穷小，则yn必为无穷小
设数列xn与yn满足
xnyn＝0，则下列断言正确的是（ ）
A. 若xn发散，则yn必发散
B. 若xn无界，则yn必有界
C. 若xn有界，则yn必为无穷小
D. 若
为无穷小，则yn必为无穷小
| lim |
| n→∞ |
A. 若xn发散，则yn必发散
B. 若xn无界，则yn必有界
C. 若xn有界，则yn必为无穷小
D. 若
| 1 |
| xn |
题目解答
答案
（1）对于选项A．倘若取xn＝n，yn＝
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n2 |
（2）对于选项B．倘若取xn＝2(−1)nn，yn＝n满足题目条件，但yn=n显然无界．故B不正确．
（3）对于选项C．倘若xn＝
| 1 |
| n |
| n |
| n |
（4）对于选项D．由于
| 1 |
| xn |
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| yn | ||
|
| 1 |
| xn |
故选：D．
解析
步骤 1：分析选项A
若x_n发散，y_n不一定发散。例如，取x_n = n，y_n = 1/n，此时x_n发散，但y_n收敛于0。因此，选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
若x_n无界，y_n不一定有界。例如，取x_n = n，y_n = 1/n^2，此时x_n无界，但y_n有界。因此，选项B不正确。
步骤 3：分析选项C
若x_n有界，y_n不一定为无穷小。例如，取x_n = 1，y_n = 1/n，此时x_n有界，但y_n为无穷小。因此，选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
若1/x_n为无穷小，即x_n为无穷大，则lim_{n→∞} x_n y_n = lim_{n→∞} y_n / (1/x_n) = 0，说明y_n是1/x_n的高阶无穷小，因此y_n必为无穷小。因此，选项D正确。
若x_n发散，y_n不一定发散。例如，取x_n = n，y_n = 1/n，此时x_n发散，但y_n收敛于0。因此，选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
若x_n无界，y_n不一定有界。例如，取x_n = n，y_n = 1/n^2，此时x_n无界，但y_n有界。因此，选项B不正确。
步骤 3：分析选项C
若x_n有界，y_n不一定为无穷小。例如，取x_n = 1，y_n = 1/n，此时x_n有界，但y_n为无穷小。因此，选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
若1/x_n为无穷小，即x_n为无穷大，则lim_{n→∞} x_n y_n = lim_{n→∞} y_n / (1/x_n) = 0，说明y_n是1/x_n的高阶无穷小，因此y_n必为无穷小。因此，选项D正确。