(3)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，lim_(xto0^+)(f(x))/(x)=1,lim_(xto1^-)(f(x))/(x-1)=2.试证：①existsxiin(0,1)，使f(xi)=0；②existsetain(0,1)，使f''(eta)=f(eta).

题目考察知识

本题主要考察连续函数的性质（零点定理、极限的保号性）、导数的应用（罗尔定理）以及辅助函数的构造技巧，具体涉及一阶和二阶导数的关系。

① 证明存在$\xi\in(0,1)$使$f(\xi)=0$

关键分析：利用极限推导函数值与保号性

• 由极限$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=1$：
  因为分母$x\to0^+$，极限存在且为1，故分子$f(x)\to0$（否则极限为无穷），又$f(x)$在$[0,1]$连续，得$f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)=0$。
  由极限保号性：存在$\delta_1>0$，当$00$（因极限1>0），故$f(x)>0$（$x>0$）。

• 由极限$\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)}{x-1}=2$：
  同理，$f(1)=\lim_{x\to1^-}f(x)=0$。
  由极限保号性：存在$\delta_2>0$，当$1-\delta_20$（极限2>0），而$x-1<0$，故$f(x)<0$。

零点定理应用

在区间$(0,\delta_1)$和$(1-\delta_2,1)$中，$f(x)$分别取正、负值，且$f(x)$连续，由零点定理，存在$\xi\in(0,1)$使$f(\xi)=0$。

② 证明存在$\eta\in(0,1)$使$f''(\eta)=f(\eta)$

核心思路：构造辅助函数转化二阶导数问题

目标是证$f''(\eta)-f(\eta)=0$，考虑构造函数消去导数差。

• 第一步：构造$g(x)=e^{-x}f(x)$
  计算导数：$g'(x)=e^{-x}[f'(x)-f(x)]$。
  由①知$f(0)=f(\xi)=f(1)=0$，故$g(0)=g(\xi)=g(1)=0$。
  对$g(x)$在$[0,\xi])和\([\xi,1]$分别应用罗尔定理：

  • 存在$\alpha\in(0,\xi)$，使$g'(\alpha)=0\implies f'(\alpha)-f(\alpha)=0$（即$f'(\alpha)=f(\alpha)$）；
  • 存在$\beta\in(\xi,1)$，使$g'(\beta)=0\implies f'(\beta)-f(\beta)=0$（即\f'(\beta)=f(\beta))）。

• 第二步：构造$h(x)=e^x[f'(x)-f(x)]$
  计算导数：$h'(x)=e^x[f''(x)-f(x)]$（关键：二阶导数与原函数的差）。
  由$f'(\alpha)=f(\alpha)$和$f'(\beta)=f(\beta)$，得$h(\alpha)=h(\beta)=0$。
  对$h(x)$在$[\alpha,\beta]$应用罗尔定理：存在$\eta\in(\alpha,\beta)\subset(0,1)$，使$h'(\eta)=0\implies f''(\eta)-f(\eta)=0$，即\f''(\eta)=f(\eta))。