(3)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，lim_(xto0^+)(f(x))/(x)=1,lim_(xto1^-)(f(x))/(x-1)=2.试证：①existsxiin(0,1)，使f(xi)=0；②existsetain(0,1)，使f''(eta)=f(eta).

(1) **证明存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = 0$** 由极限条件得： \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1 \implies f(0) = 0, \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{x-1} = 2 \implies f(1) = 0 \] 由保号性，存在 $\delta_1, \delta_2 > 0$，使得 \[ f(x) > 0 \quad (0 < x < \delta_1), \quad f(x) < 0 \quad (1 - \delta_2 < x < 1) \] 由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi) = 0$。 (2) **证明存在 $\eta \in (0,1)$，使得 $f''(\eta) = f(\eta)$** 构造函数 $g(x) = e^{-x}f(x)$，则 \[ g'(x) = e^{-x}[f'(x) - f(x)] \] 由罗尔定理，存在 $\alpha \in (0, \xi)$，$\beta \in (\xi, 1)$，使得 \[ f'(\alpha) = f(\alpha), \quad f'(\beta) = f(\beta) \] 再构造 $h(x) = e^x[f'(x) - f(x)]$，则 \[ h'(x) = e^x[f''(x) - f(x)] \] 由罗尔定理，存在 $\eta \in (\alpha, \beta)$，使得 \[ f''(\eta) = f(\eta) \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{l} \text{(1) 存在 } \xi \in (0,1) \text{，使得 } f(\xi) = 0； \\ \text{(2) 存在 } \eta \in (0,1) \text{，使得 } f''(\eta) = f(\eta)。 \end{array} } \]