题目
3.20设X与Y是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为-|||-(x)= {e)^-dfrac (x{2)},xgt 0 0,xlt 0 .-|||-求 +y 的概率密度函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定卷积积分的范围
由于 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数在 $x>0$ 和 $y>0$ 时非零，因此 $X+Y$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ 在 $z>0$ 时非零。当 $z\geqslant 0$ 时，$f_{Z}(z)$ 可以通过卷积积分计算得到。
步骤 2：计算卷积积分
卷积积分的公式为 $f_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) f(z-x) dx$。由于 $f(x)$ 和 $f(y)$ 在 $x\leqslant 0$ 和 $y\leqslant 0$ 时为零，积分范围可以简化为 $0$ 到 $z$。因此，$f_{Z}(z) = \int_{0}^{z} f(x) f(z-x) dx$。
步骤 3：代入概率密度函数并计算
将 $f(x)$ 和 $f(z-x)$ 代入卷积积分公式，得到 $f_{Z}(z) = \int_{0}^{z} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{3}e^{-\frac{z-x}{3}} dx$。化简后得到 $f_{Z}(z) = \frac{1}{6}e^{-\frac{z}{3}} \int_{0}^{z} e^{\frac{x}{6}} dx$。计算积分得到 $f_{Z}(z) = \frac{1}{6}e^{-\frac{z}{3}} (e^{\frac{z}{6}} - 1)$。化简后得到 $f_{Z}(z) = e^{-\frac{z}{3}} (1 - e^{-\frac{z}{6}})$。
步骤 4：确定 $f_{Z}(z)$ 在 $z<0$ 时的值
由于 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数在 $x\leqslant 0$ 和 $y\leqslant 0$ 时为零，因此 $X+Y$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ 在 $z<0$ 时为零。
由于 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数在 $x>0$ 和 $y>0$ 时非零，因此 $X+Y$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ 在 $z>0$ 时非零。当 $z\geqslant 0$ 时，$f_{Z}(z)$ 可以通过卷积积分计算得到。
步骤 2：计算卷积积分
卷积积分的公式为 $f_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) f(z-x) dx$。由于 $f(x)$ 和 $f(y)$ 在 $x\leqslant 0$ 和 $y\leqslant 0$ 时为零，积分范围可以简化为 $0$ 到 $z$。因此，$f_{Z}(z) = \int_{0}^{z} f(x) f(z-x) dx$。
步骤 3：代入概率密度函数并计算
将 $f(x)$ 和 $f(z-x)$ 代入卷积积分公式，得到 $f_{Z}(z) = \int_{0}^{z} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{3}e^{-\frac{z-x}{3}} dx$。化简后得到 $f_{Z}(z) = \frac{1}{6}e^{-\frac{z}{3}} \int_{0}^{z} e^{\frac{x}{6}} dx$。计算积分得到 $f_{Z}(z) = \frac{1}{6}e^{-\frac{z}{3}} (e^{\frac{z}{6}} - 1)$。化简后得到 $f_{Z}(z) = e^{-\frac{z}{3}} (1 - e^{-\frac{z}{6}})$。
步骤 4：确定 $f_{Z}(z)$ 在 $z<0$ 时的值
由于 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数在 $x\leqslant 0$ 和 $y\leqslant 0$ 时为零，因此 $X+Y$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ 在 $z<0$ 时为零。