题目
有一种检验艾滋病毒的检验法, 其结果有概率0.005误认为假阳性(即不带艾滋病毒者, 经此检验法有0.005的概率被认为带艾滋病毒). 今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验, 被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少?
有一种检验艾滋病毒的检验法, 其结果有概率0.005误认为假阳性(即不带艾滋病毒者, 经此检验法有0.005的概率被认为带艾滋病毒). 今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验, 被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少?
题目解答
答案
记X="140名不带艾滋病毒的正常人中被认为带艾滋病毒的人数"，则有题意可知，
则
,又
故
综上： 被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为0.5043.
解析
步骤 1：定义随机变量
记X为“140名不带艾滋病毒的正常人中被认为带艾滋病毒的人数”，根据题意，X服从二项分布，即$X\sim b(140,0.005)$。
步骤 2：计算至少有一人被误认为带艾滋病毒的概率
要计算至少有一人被误认为带艾滋病毒的概率，即$P(X\geqslant 1)$，可以利用二项分布的性质，将其转化为$1-P(X=0)$，其中$P(X=0)$表示140人中没有人被误认为带艾滋病毒的概率。
步骤 3：计算$P(X=0)$
根据二项分布的概率公式，$P(X=0)={C}_{140}^{0}{0.005}^{0}{(1-0.005)}^{140-0}={0.995}^{140}$。
步骤 4：计算$P(X\geqslant 1)$
将$P(X=0)$的值代入$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$，得到$P(X\geqslant 1)=1-{0.995}^{140}$。
步骤 5：计算最终结果
利用计算器计算$1-{0.995}^{140}$的值，得到$P(X\geqslant 1)\approx 0.5043$。
记X为“140名不带艾滋病毒的正常人中被认为带艾滋病毒的人数”，根据题意，X服从二项分布，即$X\sim b(140,0.005)$。
步骤 2：计算至少有一人被误认为带艾滋病毒的概率
要计算至少有一人被误认为带艾滋病毒的概率，即$P(X\geqslant 1)$，可以利用二项分布的性质，将其转化为$1-P(X=0)$，其中$P(X=0)$表示140人中没有人被误认为带艾滋病毒的概率。
步骤 3：计算$P(X=0)$
根据二项分布的概率公式，$P(X=0)={C}_{140}^{0}{0.005}^{0}{(1-0.005)}^{140-0}={0.995}^{140}$。
步骤 4：计算$P(X\geqslant 1)$
将$P(X=0)$的值代入$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$，得到$P(X\geqslant 1)=1-{0.995}^{140}$。
步骤 5：计算最终结果
利用计算器计算$1-{0.995}^{140}$的值，得到$P(X\geqslant 1)\approx 0.5043$。