题目

4元齐次线性方程组}2x_{2)-x_(1)-x_(4)=0x_(1)+x_(2)+x_(3)=0x_(1)+3x_(2)-x_(4)=0.的基础解系所含解向量的个数为（）。bigcirc 1bigcirc 2bigcirc 3bigcirc 4

4元齐次线性方程组$\left\{\begin{matrix}2x_{2}-x_{1}-x_{4}=0\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{1}+3x_{2}-x_{4}=0\end{matrix}\right.$的基础解系所含解向量的个数为（）。 $\bigcirc$ 1 $\bigcirc$ 2 $\bigcirc$ 3 $\bigcirc$ 4

题目解答

答案

将方程组表示为矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，其中 \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \] 通过行初等变换化简 $A$，得到秩 $r(A) = 3$。 根据齐次线性方程组理论，基础解系所含解向量个数为 $n - r(A) = 4 - 3 = 1$。 或者，解方程组得通解为 \[ \mathbf{x} = x_2 \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}, \] 仅含一个自由变量 $x_2$，故基础解系含1个向量。 答案：$\boxed{1}$。

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组基础解系的求解，核心在于确定系数矩阵的秩，进而利用解空间的维数公式（n - r）得出基础解系所含解向量的个数。

解题思路：

  1. 写出系数矩阵：将方程组转化为矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$。
  2. 求矩阵的秩：通过行初等变换将矩阵化为行阶梯形，确定非零行的数量。
  3. 应用解空间维数公式：基础解系的个数为变量总数 $n$ 减去矩阵的秩 $r$。

破题关键：正确进行行变换化简矩阵，准确判断秩的大小。

将方程组写成矩阵形式：
$A = \begin{pmatrix}-1 & 2 & 0 & -1 \\1 & 1 & 1 & 0 \\1 & 3 & 0 & -1\end{pmatrix}$

行初等变换过程：

  1. 消去第二、第三行的第一个元素：

    • 第二行加第一行：$R2 \leftarrow R2 + R1$，得 $0, 3, 1, -1$。
    • 第三行加第一行：$R3 \leftarrow R3 + R1$，得 $0, 5, 0, -2$。

  2. 消去第三行的第二个元素：

    • 第三行减去第二行的 $\frac{5}{3}$ 倍：$R3 \leftarrow R3 - \frac{5}{3}R2$，得 $0, 0, -\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}$。

  3. 调整第三行：

    • 第三行乘以 $-\frac{3}{5}$：$R3 \leftarrow -\frac{3}{5}R3$，得 $0, 0, 1, \frac{1}{5}$。

  4. 消去第二行的第三个元素：

    • 第二行减去第三行：$R2 \leftarrow R2 - R3$，得 $0, 3, 0, -\frac{6}{5}$。

  5. 化简第一行：

    • 第二行除以3：$R2 \leftarrow \frac{1}{3}R2$，得 $0, 1, 0, -\frac{2}{5}$。
    • 第一行减去第二行的2倍：$R1 \leftarrow R1 - 2R2$，得 $-1, 0, 0, -\frac{1}{5}$。

最终矩阵为：
$\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\0 & 1 & 0 & -\frac{2}{5} \\0 & 0 & 1 & \frac{1}{5}\end{pmatrix}$
非零行数为3，故秩 $r(A) = 3$。

基础解系个数：$n - r = 4 - 3 = 1$。