设四元齐次方程组（Ⅰ）为 2x1+3x2−x3＝0 x1+2x2+x3−x4＝0 ，且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为 α1 =（2，-1，a+2，1）T， α2 =（-1，2，4，a+8）T． （1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系； （2）当a为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解．

【解法1】
（1）
对方程组（I）的系数矩阵作初等行变换，可得：
A=

2 3 −1 0 1 2 1 −1

→

1 0 −5 3 0 1 3 −2

，
所以方程组（I）的一个基础解系为：
β₁=（5，-3，1，0）^T，β₂=（-3，2，0，1）^T．
（2）
由题设条件，方程组（II）的全部解为：

x1 x2 x3 x4

=k₁α₁+k₂α₂=

2k1−k2 −k1+2k2 (a+2)k1+4k2 k1+(a+8)k2

，（k₁，k₂为任意常数）．①
将上式代入方程组（I）可得，

(a+1)k1＝0 (a+1)k1−(a+1)k2＝0

，②
要使得方程组（I）（II）有非零公共解，
只需关于k₁，k₂的方程组②有非零解，
因为：

.

a+1 0 a+1 −(a+1)

.

＝−(a+1)2，
所以，
当a≠-1时，方程组（I）与（II）无非零公共解，
当a=-1时，方程组②有非零解，且k₁，k₂为不全为零的任意常数，
此时，由①可得方程组（I）与（II）全部为零公共解为：

x1 x2 x3 x4

=k1

2 −1 1 1

+k2

−1 2 4 7

，（k₁，k₂为不全为零的任意常数）．
【解法2】
（1）
对方程组（I）的系数矩阵作初等行变换，可得：
A=

2 3 −1 0 1 2 1 −1

→

−2 −3 1 0 −3 −5 0 1

，
故方程组（I）的同解方程组为：

x3＝2x1+3x2 x4＝3x1+5x2

由此可得方程组（I）的一个基础解系为：
β₁=（1，0，2，3）^T，β₂=（0，1，3，5）^T．
（2）
设方程组（I）与（II）的公共解为η，则有k₁，k₂，k₃，k₄，使得：
η=k₁β₁+k₂β₂=k₃α₁+k₄α₂，
由得到线性方程组：
（III）

−k1+2k3−k4＝0 −k2−k3+2k4＝0 −2k1−3k2+(a+2)k3+4k4＝0 −3k1−5k2+k3+(a+8)k4＝0

，
对方程组（III）的系数矩阵作初等行变换，有：

−1 0 2 −1 0 −1 −1 2 2 3 a+2 4 −3 −5 1 a+8

→

1 0 −2 1 0 1 1 −2 0 0 a+1 0 0 0 0 a+1

．
由此可知，
当a≠-1时，方程组（III）仅有零解，
故方程组（I）与（II）无非零公共解．
当a=-1时，方程组（III）的同解方程组为：

k1＝2k3−k4 k2＝−k3+2k4

令：k₃=c₁，k₄=c₂可得：
方程组（I）与（II）的公共非零解为：

x1 x2 x3 x4

=c1

2 −1 1 1

+k2

−1 2 4 7

，（c₁，c₂为不全为零的任意常数）．