题目
(3)齐次方程 ((x)^2-xy+(y)^2)dx+x((x)^2+xy+(y)^2)dy=0 的通解是 ()-|||-(A) =(e)^arctan dfrac (y{x)} (B) =(e)^-arctan dfrac (y{x)}-|||-(C) ^2y=(c)^-arctan dfrac (y{x)} (D) ^2y=(c)^arctan dfrac (y{x)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程转换为齐次方程
原方程可以写为 $y({x}^{2}-xy+{y}^{2})dx+x({x}^{2}+xy+{y}^{2})dy=0$，即 $y({x}^{2}-xy+{y}^{2})dx=-x({x}^{2}+xy+{y}^{2})dy$。将方程两边同时除以 $x^2$，得到 $\frac{y}{x}({1}-\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})dx=-({1}+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})dy$。令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$dy=udx+xdu$。代入原方程，得到 $u(1-u+u^2)dx=-(1+u+u^2)(udx+xdu)$。
步骤 2：分离变量
将方程化简为 $u(1-u+u^2)dx=-(1+u+u^2)(udx+xdu)$，即 $u(1-u+u^2)dx=-(1+u+u^2)udx-(1+u+u^2)xdu$。整理得到 $(u(1-u+u^2)+(1+u+u^2)u)dx=-(1+u+u^2)xdu$，即 $(2u+2u^3)dx=-(1+u+u^2)xdu$。进一步化简得到 $\frac{dx}{x}=-\frac{1+u+u^2}{2u+2u^3}du$。
步骤 3：积分求解
对上式两边积分，得到 $\int \frac{dx}{x}=-\int \frac{1+u+u^2}{2u+2u^3}du$。左边积分得到 $\ln|x|$，右边积分需要进行部分分式分解。将 $\frac{1+u+u^2}{2u+2u^3}$ 分解为 $\frac{1}{2u}+\frac{1}{2(1+u)}-\frac{1}{2(1-u)}$，然后分别积分得到 $-\frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{2}\ln|1+u|+\frac{1}{2}\ln|1-u|$。因此，$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{2}\ln|1+u|+\frac{1}{2}\ln|1-u|+C$。将 $u=\frac{y}{x}$ 代入，得到 $\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|\frac{y}{x}|-\frac{1}{2}\ln|1+\frac{y}{x}|+\frac{1}{2}\ln|1-\frac{y}{x}|+C$。化简得到 $\ln|xy|=-\frac{1}{2}\ln|1+\frac{y}{x}|+\frac{1}{2}\ln|1-\frac{y}{x}|+C$。即 $xy=Ce^{-\arctan \frac{y}{x}}$。
原方程可以写为 $y({x}^{2}-xy+{y}^{2})dx+x({x}^{2}+xy+{y}^{2})dy=0$，即 $y({x}^{2}-xy+{y}^{2})dx=-x({x}^{2}+xy+{y}^{2})dy$。将方程两边同时除以 $x^2$，得到 $\frac{y}{x}({1}-\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})dx=-({1}+\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})dy$。令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$dy=udx+xdu$。代入原方程，得到 $u(1-u+u^2)dx=-(1+u+u^2)(udx+xdu)$。
步骤 2：分离变量
将方程化简为 $u(1-u+u^2)dx=-(1+u+u^2)(udx+xdu)$，即 $u(1-u+u^2)dx=-(1+u+u^2)udx-(1+u+u^2)xdu$。整理得到 $(u(1-u+u^2)+(1+u+u^2)u)dx=-(1+u+u^2)xdu$，即 $(2u+2u^3)dx=-(1+u+u^2)xdu$。进一步化简得到 $\frac{dx}{x}=-\frac{1+u+u^2}{2u+2u^3}du$。
步骤 3：积分求解
对上式两边积分，得到 $\int \frac{dx}{x}=-\int \frac{1+u+u^2}{2u+2u^3}du$。左边积分得到 $\ln|x|$，右边积分需要进行部分分式分解。将 $\frac{1+u+u^2}{2u+2u^3}$ 分解为 $\frac{1}{2u}+\frac{1}{2(1+u)}-\frac{1}{2(1-u)}$，然后分别积分得到 $-\frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{2}\ln|1+u|+\frac{1}{2}\ln|1-u|$。因此，$\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|u|-\frac{1}{2}\ln|1+u|+\frac{1}{2}\ln|1-u|+C$。将 $u=\frac{y}{x}$ 代入，得到 $\ln|x|=-\frac{1}{2}\ln|\frac{y}{x}|-\frac{1}{2}\ln|1+\frac{y}{x}|+\frac{1}{2}\ln|1-\frac{y}{x}|+C$。化简得到 $\ln|xy|=-\frac{1}{2}\ln|1+\frac{y}{x}|+\frac{1}{2}\ln|1-\frac{y}{x}|+C$。即 $xy=Ce^{-\arctan \frac{y}{x}}$。