题目
计算下列极限: (1)lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2};(2)lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2}; (3)lim _(xarrow 2)dfrac ({x)^3+2(x)^2}({(x-2))^2}.
计算下列极限:
(1)
;
(2)
;
(3)
.
题目解答
答案
解(1) 因为
, 所以
.
(2) 
(因为分子次数高于分母次数).
(3) 
(因为分子次数高于分母次数).
解析
步骤 1：计算极限 $\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{3}+2{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}$
首先，观察分子和分母在$x=2$时的值。分子在$x=2$时的值为$2^3 + 2\cdot2^2 = 8 + 8 = 16$，而分母在$x=2$时的值为$(2-2)^2 = 0$。由于分母为0，而分子不为0，所以极限不存在，且趋向于无穷大。
步骤 2：计算极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}}{2x+1}$
观察分子和分母的最高次项，分子的最高次项为$x^2$，分母的最高次项为$2x$。当$x$趋向于无穷大时，分子的最高次项的系数与分母的最高次项的系数之比决定了极限的值。由于分子的最高次项的次数高于分母的最高次项的次数，所以极限趋向于无穷大。
步骤 3：计算极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }(2{x}^{3}-x+1)$
观察多项式的最高次项，最高次项为$2x^3$。当$x$趋向于无穷大时，最高次项的系数决定了极限的值。由于最高次项的系数为正，所以极限趋向于正无穷大。
首先，观察分子和分母在$x=2$时的值。分子在$x=2$时的值为$2^3 + 2\cdot2^2 = 8 + 8 = 16$，而分母在$x=2$时的值为$(2-2)^2 = 0$。由于分母为0，而分子不为0，所以极限不存在，且趋向于无穷大。
步骤 2：计算极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}}{2x+1}$
观察分子和分母的最高次项，分子的最高次项为$x^2$，分母的最高次项为$2x$。当$x$趋向于无穷大时，分子的最高次项的系数与分母的最高次项的系数之比决定了极限的值。由于分子的最高次项的次数高于分母的最高次项的次数，所以极限趋向于无穷大。
步骤 3：计算极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }(2{x}^{3}-x+1)$
观察多项式的最高次项，最高次项为$2x^3$。当$x$趋向于无穷大时，最高次项的系数决定了极限的值。由于最高次项的系数为正，所以极限趋向于正无穷大。