题目
函数y=(1)/(2)（(e^x)-(e^-x)）的反函数是 ____ ．
函数$y=\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$的反函数是 ____ ．
题目解答
答案
解：依题意，由$y=\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$得：${e}^{x}=y±\sqrt{{y}^{2}+1}$
∵ex＞0，∴${e}^{x}=y+\;\sqrt{{y}^{2}+1}$
由此得：$x=ln（y+\sqrt{{y}^{2}+1}）$
∴函数$y=\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$的反函数是$y=ln（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$（x∈R）
答案：$y=ln（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$（x∈R）
∵ex＞0，∴${e}^{x}=y+\;\sqrt{{y}^{2}+1}$
由此得：$x=ln（y+\sqrt{{y}^{2}+1}）$
∴函数$y=\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$的反函数是$y=ln（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$（x∈R）
答案：$y=ln（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$（x∈R）
解析
步骤 1：求解$e^x$
由$y=\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$，我们首先将方程两边乘以2，得到$2y=e^x-e^{-x}$。然后，我们可以通过添加和减去$e^{-x}$来构造一个完全平方形式，即$2y+e^{-x}=e^x$。为了求解$e^x$，我们将其重写为$e^x=2y+e^{-x}$。由于$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$，我们可以将方程重写为$e^x=2y+\frac{1}{e^x}$。接下来，我们通过乘以$e^x$来消除分母，得到$(e^x)^2=2ye^x+1$。这可以被重写为$(e^x)^2-2ye^x-1=0$，这是一个关于$e^x$的二次方程。
步骤 2：求解$e^x$的值
我们使用求根公式来解这个二次方程。对于方程$ax^2+bx+c=0$，其解为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。将$a=1$，$b=-2y$，$c=-1$代入，我们得到$e^x=\frac{2y±\sqrt{4y^2+4}}{2}$。简化后得到$e^x=y±\sqrt{y^2+1}$。由于$e^x$总是正的，我们只取正号，即$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$。
步骤 3：求解$x$
为了找到$x$，我们需要对$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$两边取自然对数，得到$x=ln(y+\sqrt{y^2+1})$。这给出了原函数的反函数。
由$y=\frac{1}{2}（{e^x}-{e^{-x}}）$，我们首先将方程两边乘以2，得到$2y=e^x-e^{-x}$。然后，我们可以通过添加和减去$e^{-x}$来构造一个完全平方形式，即$2y+e^{-x}=e^x$。为了求解$e^x$，我们将其重写为$e^x=2y+e^{-x}$。由于$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$，我们可以将方程重写为$e^x=2y+\frac{1}{e^x}$。接下来，我们通过乘以$e^x$来消除分母，得到$(e^x)^2=2ye^x+1$。这可以被重写为$(e^x)^2-2ye^x-1=0$，这是一个关于$e^x$的二次方程。
步骤 2：求解$e^x$的值
我们使用求根公式来解这个二次方程。对于方程$ax^2+bx+c=0$，其解为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。将$a=1$，$b=-2y$，$c=-1$代入，我们得到$e^x=\frac{2y±\sqrt{4y^2+4}}{2}$。简化后得到$e^x=y±\sqrt{y^2+1}$。由于$e^x$总是正的，我们只取正号，即$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$。
步骤 3：求解$x$
为了找到$x$，我们需要对$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$两边取自然对数，得到$x=ln(y+\sqrt{y^2+1})$。这给出了原函数的反函数。