6. =xarcsin dfrac (x)(2)+sqrt (4-{x)^2}

考查要点：本题主要考查乘积法则和链式法则的应用，以及对反三角函数导数和根式函数导数的掌握。

解题核心思路：

1. 将函数拆分为两个部分：$x \cdot \arcsin \frac{x}{2}$ 和 $\sqrt{4 - x^2}$，分别求导后相加。
2. 第一部分使用乘积法则，其中$\arcsin \frac{x}{2}$的导数需用链式法则计算。
3. 第二部分直接应用链式法则求导。
4. 注意代数化简，确保中间步骤的符号和分母正确。

破题关键点：

• 乘积法则的正确应用，避免漏项。
• 反三角函数导数公式的准确记忆与变形。
• 代数运算中分子分母的化简，尤其是分母的平方根处理。

函数分解：
$y = x \cdot \arcsin \frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2}$

分步求导：

第一部分：$x \cdot \arcsin \frac{x}{2}$

1. 乘积法则：
   $\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v'$
   其中 $u = x$，$v = \arcsin \frac{x}{2}$。
2. 计算$u'$：
   $u' = \frac{d}{dx} x = 1$
3. 计算$v'$（链式法则）：
   $v' = \frac{d}{dx} \arcsin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{2} \right)^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$
4. 代入乘积法则：
   $\frac{d}{dx} \left( x \cdot \arcsin \frac{x}{2} \right) = 1 \cdot \arcsin \frac{x}{2} + x \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$

第二部分：$\sqrt{4 - x^2}$

1. 链式法则：
   $\frac{d}{dx} (4 - x^2)^{1/2} = \frac{1}{2} (4 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$

合并结果

将两部分导数相加：
$\begin{aligned}y' &= \left( \arcsin \frac{x}{2} + \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \right) + \left( -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \right) \\&= \arcsin \frac{x}{2}\end{aligned}$