题目
求解微分方程xy'+y=cosx的通解
求解微分方程xy'+y=cosx的通解
题目解答
答案
先解齐次方程 xy'+y=0.
∵y'/y=-1/x
∴y=C1/x,(C1是积分常数).
∴设xy'+y=cosx的通解为 y=C(x)/x,(C(x)是x的函数).
则有xy'=C'(x)-y,代入原方程得C'(x)= cosx
∴C(x)= sinx+C,(C是积分常数).
∴原方程的通解是 y=(sinx+C)/x,(C是积分常数).
∵y'/y=-1/x
∴y=C1/x,(C1是积分常数).
∴设xy'+y=cosx的通解为 y=C(x)/x,(C(x)是x的函数).
则有xy'=C'(x)-y,代入原方程得C'(x)= cosx
∴C(x)= sinx+C,(C是积分常数).
∴原方程的通解是 y=(sinx+C)/x,(C是积分常数).
解析
步骤 1：求解齐次方程
首先，我们求解齐次方程 xy' + y = 0。将方程重写为 y'/y = -1/x，然后积分得到 y = C1/x，其中 C1 是积分常数。
步骤 2：求解非齐次方程
接下来，我们求解非齐次方程 xy' + y = cosx。设非齐次方程的通解为 y = C(x)/x，其中 C(x) 是 x 的函数。则有 xy' = C'(x) - y，代入原方程得到 C'(x) = cosx。积分得到 C(x) = sinx + C，其中 C 是积分常数。
步骤 3：写出通解
最后，将 C(x) = sinx + C 代入 y = C(x)/x，得到原方程的通解 y = (sinx + C)/x，其中 C 是积分常数。
首先，我们求解齐次方程 xy' + y = 0。将方程重写为 y'/y = -1/x，然后积分得到 y = C1/x，其中 C1 是积分常数。
步骤 2：求解非齐次方程
接下来，我们求解非齐次方程 xy' + y = cosx。设非齐次方程的通解为 y = C(x)/x，其中 C(x) 是 x 的函数。则有 xy' = C'(x) - y，代入原方程得到 C'(x) = cosx。积分得到 C(x) = sinx + C，其中 C 是积分常数。
步骤 3：写出通解
最后，将 C(x) = sinx + C 代入 y = C(x)/x，得到原方程的通解 y = (sinx + C)/x，其中 C 是积分常数。