题目
19.（简答题，8.0分）（8分）计算曲线积分int_(L)^}(sin y+y)dx+xcos ydy，其中L是曲线y=2x-x^{2从点O(0,0)到点A(2,0)的一段弧.
19.（简答题，8.0分）
（8分）计算曲线积分$\int_{L}^{}(sin y+y)dx+x\cos ydy$，其中L是曲线$y=2x-x^{2}$从点O(0,0)到点A(2,0)的一段弧.
题目解答
答案
将曲线 $L$ 与x轴上的线段 $C$（从 $A$ 到 $O$）构成闭合曲线 $L+C$。应用格林公式，其中 $P = \sin y + y$，$Q = x \cos y$，得
\[
\oint_{L+C} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_D (-1) \, dA = -\text{Area}(D).
\]
计算区域 $D$ 面积（由 $y = 2x - x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 围成）：
\[
\text{Area}(D) = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \frac{4}{3}.
\]
由于线段 $C$ 上积分均为零，故
\[
\int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{4}{3}.
\]
**答案：** $\boxed{-\frac{4}{3}}$
解析
步骤 1：构造闭合曲线
将曲线 $L$ 与x轴上的线段 $C$（从 $A$ 到 $O$）构成闭合曲线 $L+C$。这样，我们就可以应用格林公式来计算闭合曲线上的积分。
步骤 2：应用格林公式
应用格林公式，其中 $P = \sin y + y$，$Q = x \cos y$，得 \[ \oint_{L+C} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \cos y + 1. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \cos y - (\cos y + 1) = -1. \] 所以， \[ \oint_{L+C} P \, dx + Q \, dy = \iint_D (-1) \, dA = -\text{Area}(D). \]
步骤 3：计算区域 $D$ 面积
计算区域 $D$ 面积（由 $y = 2x - x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 围成）： \[ \text{Area}(D) = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]
步骤 4：计算曲线积分
由于线段 $C$ 上积分均为零，故 \[ \int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{4}{3}. \]
将曲线 $L$ 与x轴上的线段 $C$（从 $A$ 到 $O$）构成闭合曲线 $L+C$。这样，我们就可以应用格林公式来计算闭合曲线上的积分。
步骤 2：应用格林公式
应用格林公式，其中 $P = \sin y + y$，$Q = x \cos y$，得 \[ \oint_{L+C} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \cos y + 1. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \cos y - (\cos y + 1) = -1. \] 所以， \[ \oint_{L+C} P \, dx + Q \, dy = \iint_D (-1) \, dA = -\text{Area}(D). \]
步骤 3：计算区域 $D$ 面积
计算区域 $D$ 面积（由 $y = 2x - x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 围成）： \[ \text{Area}(D) = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]
步骤 4：计算曲线积分
由于线段 $C$ 上积分均为零，故 \[ \int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{4}{3}. \]