23.(2017)已知函数y(x)由方程 ^3+-|||-^3-3x+3y-2=0 确定,求y(x)的极值.

步骤 1：求导
对给定的方程 ${x}^{3}+{y}^{3}-3x+3y-2=0$，我们首先对x求导，得到关于y的导数。利用隐函数求导法则，我们有：
$$
3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - 3 + 3\frac{dy}{dx} = 0
$$
步骤 2：解导数方程
将上述方程整理，得到：
$$
3y^2\frac{dy}{dx} + 3\frac{dy}{dx} = 3 - 3x^2
$$
$$
\frac{dy}{dx}(3y^2 + 3) = 3 - 3x^2
$$
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 3x^2}{3y^2 + 3}
$$
步骤 3：求极值点
为了找到极值点，我们需要找到导数为0的点。因此，我们令$\frac{dy}{dx} = 0$，得到：
$$
3 - 3x^2 = 0
$$
$$
x^2 = 1
$$
$$
x = \pm 1
$$
步骤 4：验证极值点
将$x = 1$和$x = -1$代入原方程，求解对应的y值。
当$x = 1$时，代入原方程：
$$
1^3 + y^3 - 3*1 + 3y - 2 = 0
$$
$$
y^3 + 3y - 4 = 0
$$
解得$y = 1$。
当$x = -1$时，代入原方程：
$$
(-1)^3 + y^3 - 3*(-1) + 3y - 2 = 0
$$
$$
y^3 + 3y = 0
$$
解得$y = 0$。
步骤 5：判断极值类型
为了判断极值类型，我们需要计算二阶导数。二阶导数为：
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3 - 3x^2}{3y^2 + 3}\right)
$$
由于计算二阶导数较为复杂，我们可以通过观察一阶导数的符号变化来判断极值类型。当$x$从左侧接近1时，$\frac{dy}{dx}$为正；当$x$从右侧接近1时，$\frac{dy}{dx}$为负，因此$x=1$处为极大值。同理，当$x$从左侧接近-1时，$\frac{dy}{dx}$为负；当$x$从右侧接近-1时，$\frac{dy}{dx}$为正，因此$x=-1$处为极小值。