题目
[题目]解不等式: ^2-2x-8geqslant 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解因式
原不等式 ${x}^{2}-2x-8\geqslant 0$ 可以分解为 $(x-4)(x+2)\geqslant 0$。这是因为 ${x}^{2}-2x-8$ 可以分解为 $(x-4)(x+2)$，其中 $4$ 和 $-2$ 是方程 ${x}^{2}-2x-8=0$ 的根。
步骤 2：确定不等式的解集
为了确定不等式 $(x-4)(x+2)\geqslant 0$ 的解集，我们需要考虑两个因子 $(x-4)$ 和 $(x+2)$ 的符号。当 $x$ 小于或等于 $-2$ 时，$(x+2)$ 为非正，$(x-4)$ 为负，因此乘积为非负。当 $x$ 大于或等于 $4$ 时，$(x-4)$ 为非负，$(x+2)$ 为正，因此乘积为非负。在 $-2$ 和 $4$ 之间，乘积为负，因此不满足不等式。
步骤 3：写出解集
根据步骤 2 的分析，不等式 $(x-4)(x+2)\geqslant 0$ 的解集为 $x\leqslant -2$ 或 $x\geqslant 4$。因此，解集为 $x\in (-\infty ,-2] \cup [ 4,+\infty )$。
原不等式 ${x}^{2}-2x-8\geqslant 0$ 可以分解为 $(x-4)(x+2)\geqslant 0$。这是因为 ${x}^{2}-2x-8$ 可以分解为 $(x-4)(x+2)$，其中 $4$ 和 $-2$ 是方程 ${x}^{2}-2x-8=0$ 的根。
步骤 2：确定不等式的解集
为了确定不等式 $(x-4)(x+2)\geqslant 0$ 的解集，我们需要考虑两个因子 $(x-4)$ 和 $(x+2)$ 的符号。当 $x$ 小于或等于 $-2$ 时，$(x+2)$ 为非正，$(x-4)$ 为负，因此乘积为非负。当 $x$ 大于或等于 $4$ 时，$(x-4)$ 为非负，$(x+2)$ 为正，因此乘积为非负。在 $-2$ 和 $4$ 之间，乘积为负，因此不满足不等式。
步骤 3：写出解集
根据步骤 2 的分析，不等式 $(x-4)(x+2)\geqslant 0$ 的解集为 $x\leqslant -2$ 或 $x\geqslant 4$。因此，解集为 $x\in (-\infty ,-2] \cup [ 4,+\infty )$。