题目
22、设L为曲线{}x^2+y^2+z^2=a^2x+y+z=0(xy+yz+zx)ds.
22、设L为曲线$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\\x+y+z=0\end{matrix}\right.,a>0$，求$\oint_{L}(xy+yz+zx)ds$.
题目解答
答案
由对称性，$\oint_{L} xy \, ds = \oint_{L} yz \, ds = \oint_{L} zx \, ds$，故
\[
\oint_{L} (xy + yz + zx) \, ds = 3 \oint_{L} xy \, ds.
\]
利用条件 $x + y + z = 0$，平方得
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0 \implies a^2 + 2(xy + yz + zx) = 0 \implies xy + yz + zx = -\frac{a^2}{2}.
\]
因此，
\[
\oint_{L} (xy + yz + zx) \, ds = -\frac{a^2}{2} \oint_{L} ds.
\]
曲线 $L$ 为半径为 $a$ 的圆，周长为 $2\pi a$，代入得
\[
-\frac{a^2}{2} \cdot 2\pi a = -\pi a^3.
\]
答案：$\boxed{-\pi a^3}$
解析
步骤 1：利用对称性简化积分
由于曲线 $L$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上具有对称性，可以得出 $\oint_{L} xy \, ds = \oint_{L} yz \, ds = \oint_{L} zx \, ds$。因此，原积分可以简化为：
\[ \oint_{L} (xy + yz + zx) \, ds = 3 \oint_{L} xy \, ds. \]
步骤 2：利用给定条件简化表达式
由条件 $x + y + z = 0$，平方得：
\[ x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0. \]
代入 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，得：
\[ a^2 + 2(xy + yz + zx) = 0 \implies xy + yz + zx = -\frac{a^2}{2}. \]
步骤 3：计算曲线 $L$ 的周长
曲线 $L$ 是半径为 $a$ 的圆，其周长为 $2\pi a$。因此，原积分可以进一步简化为：
\[ \oint_{L} (xy + yz + zx) \, ds = -\frac{a^2}{2} \cdot 2\pi a = -\pi a^3. \]
由于曲线 $L$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上具有对称性，可以得出 $\oint_{L} xy \, ds = \oint_{L} yz \, ds = \oint_{L} zx \, ds$。因此，原积分可以简化为：
\[ \oint_{L} (xy + yz + zx) \, ds = 3 \oint_{L} xy \, ds. \]
步骤 2：利用给定条件简化表达式
由条件 $x + y + z = 0$，平方得：
\[ x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0. \]
代入 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，得：
\[ a^2 + 2(xy + yz + zx) = 0 \implies xy + yz + zx = -\frac{a^2}{2}. \]
步骤 3：计算曲线 $L$ 的周长
曲线 $L$ 是半径为 $a$ 的圆，其周长为 $2\pi a$。因此，原积分可以进一步简化为：
\[ \oint_{L} (xy + yz + zx) \, ds = -\frac{a^2}{2} \cdot 2\pi a = -\pi a^3. \]