题目
求微分方程 dfrac (dy)(dx)+2xy=x 的通解.
求微分方程 
的通解.
题目解答
答案
已知
将微分方程化为标准形式，得到
根据一阶线性微分方程的通解公式，我们可以得到：
由于
所以
所以，的通解为
最终答案为
解析
步骤 1：确定微分方程类型
微分方程 $\dfrac {dy}{dx}+2xy=x$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成 $\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的形式，其中 $P(x)=2x$，$Q(x)=x$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的通解公式为 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$。首先，我们需要求解积分因子 $e^{\int P(x)dx}$。
$$
\int P(x)dx = \int 2x dx = x^2
$$
所以，积分因子为 $e^{x^2}$。
步骤 3：求解通解
将 $Q(x)=x$ 和积分因子 $e^{x^2}$ 代入通解公式中，得到：
$$
y=e^{-x^2}(\int x e^{x^2}dx+C)
$$
为了求解 $\int x e^{x^2}dx$，我们使用换元法，设 $u=x^2$，则 $du=2xdx$，所以 $xdx=\frac{1}{2}du$。因此，
$$
\int x e^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C
$$
将这个结果代入通解公式中，得到：
$$
y=e^{-x^2}(\frac{1}{2}e^{x^2} + C) = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}
$$
微分方程 $\dfrac {dy}{dx}+2xy=x$ 是一阶线性微分方程，因为它可以写成 $\dfrac {dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 的形式，其中 $P(x)=2x$，$Q(x)=x$。
步骤 2：求解积分因子
一阶线性微分方程的通解公式为 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$。首先，我们需要求解积分因子 $e^{\int P(x)dx}$。
$$
\int P(x)dx = \int 2x dx = x^2
$$
所以，积分因子为 $e^{x^2}$。
步骤 3：求解通解
将 $Q(x)=x$ 和积分因子 $e^{x^2}$ 代入通解公式中，得到：
$$
y=e^{-x^2}(\int x e^{x^2}dx+C)
$$
为了求解 $\int x e^{x^2}dx$，我们使用换元法，设 $u=x^2$，则 $du=2xdx$，所以 $xdx=\frac{1}{2}du$。因此，
$$
\int x e^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C
$$
将这个结果代入通解公式中，得到：
$$
y=e^{-x^2}(\frac{1}{2}e^{x^2} + C) = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}
$$