题目
射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律和分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律和分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
题目解答
答案
【答案】
分布律如解析图，分布函数见解析，概率为0.896
【解析】
（1）令射手击中目标的次数为X
X=0,1,2,3
则
则分布律为:
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 0.008 | 0.096 | 0.384 | 0.512 |
令分布函数
分类讨论如下：
（1）
时，显然，
时，显然，（2）
时，
时，（3）
时，
时，（4）
时，
时，=0.008+0.096+0.384=0.488
（5）
时，
时，
即
3次射击击中中至少2次的概率为
解析
步骤 1：确定随机变量
设射手击中目标的次数为随机变量X，X的可能取值为0,1,2,3。
步骤 2：计算分布律
根据二项分布的公式，$P(X=k)={C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中n=3，p=0.8，k=0,1,2,3。
- 当k=0时，$P(X=0)={C}_{3}^{0}\times {0.8}^{0}\times {0.2}^{3}=0.008$
- 当k=1时，$P(X=1)={C}_{3}^{1}\times {0.8}^{1}\times {0.2}^{2}=0.096$
- 当k=2时，$P(X=2)={C}_{3}^{2}\times {0.8}^{2}\times {0.2}^{1}=0.384$
- 当k=3时，$P(X=3)={C}_{3}^{3}\times {0.8}^{3}\times {0.2}^{0}=0.512$
步骤 3：计算分布函数
分布函数$F(x)=P(X\leq x)$，根据X的取值范围，分类讨论如下：
- 当$x<0$时，$F(x)=0$
- 当$0\leq x<1$时，$F(x)=P(X=0)=0.008$
- 当$1\leq x<2$时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.008+0.096=0.104$
- 当$2\leq x<3$时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.008+0.096+0.384=0.488$
- 当$x\geq 3$时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.008+0.096+0.384+0.512=1$
步骤 4：计算至少击中2次的概率
至少击中2次的概率为$P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0.384+0.512=0.896$
设射手击中目标的次数为随机变量X，X的可能取值为0,1,2,3。
步骤 2：计算分布律
根据二项分布的公式，$P(X=k)={C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中n=3，p=0.8，k=0,1,2,3。
- 当k=0时，$P(X=0)={C}_{3}^{0}\times {0.8}^{0}\times {0.2}^{3}=0.008$
- 当k=1时，$P(X=1)={C}_{3}^{1}\times {0.8}^{1}\times {0.2}^{2}=0.096$
- 当k=2时，$P(X=2)={C}_{3}^{2}\times {0.8}^{2}\times {0.2}^{1}=0.384$
- 当k=3时，$P(X=3)={C}_{3}^{3}\times {0.8}^{3}\times {0.2}^{0}=0.512$
步骤 3：计算分布函数
分布函数$F(x)=P(X\leq x)$，根据X的取值范围，分类讨论如下：
- 当$x<0$时，$F(x)=0$
- 当$0\leq x<1$时，$F(x)=P(X=0)=0.008$
- 当$1\leq x<2$时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.008+0.096=0.104$
- 当$2\leq x<3$时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.008+0.096+0.384=0.488$
- 当$x\geq 3$时，$F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.008+0.096+0.384+0.512=1$
步骤 4：计算至少击中2次的概率
至少击中2次的概率为$P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=0.384+0.512=0.896$