题目
设f(x)为连续函数，则(int )_(0)^1f'(dfrac (x)(2))dx等于( )．(int )_(0)^1f'(dfrac (x)(2))dx
设f(x)为连续函数，则
等于( )．
题目解答
答案
D
解析：本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．
可知应选D．
解析：本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．
可知应选D．
解析
步骤 1：换元法
令 $u = \dfrac{x}{2}$，则 $du = \dfrac{1}{2}dx$，即 $dx = 2du$。
步骤 2：积分变换
将原积分 ${\int }_{0}^{1}f'(\dfrac {x}{2})dx$ 通过换元法转换为 ${\int }_{0}^{1}f'(u)2du$。
步骤 3：应用牛-莱公式
根据牛-莱公式，${\int }_{0}^{1}f'(u)2du = 2{\int }_{0}^{1}f'(u)du = 2[f(u)]_{0}^{1} = 2[f(\dfrac{1}{2}) - f(0)]$。
令 $u = \dfrac{x}{2}$，则 $du = \dfrac{1}{2}dx$，即 $dx = 2du$。
步骤 2：积分变换
将原积分 ${\int }_{0}^{1}f'(\dfrac {x}{2})dx$ 通过换元法转换为 ${\int }_{0}^{1}f'(u)2du$。
步骤 3：应用牛-莱公式
根据牛-莱公式，${\int }_{0}^{1}f'(u)2du = 2{\int }_{0}^{1}f'(u)du = 2[f(u)]_{0}^{1} = 2[f(\dfrac{1}{2}) - f(0)]$。