题目
根据函数极限的定义证明1) lim _(xarrow 3)(3x-1)=8-|||-__1) lim _(xarrow 3)(3x-1)=8-|||-__
根据函数极限的定义证明
题目解答
答案
证明:
要使
只需使
对当
时
有
所以
证明:
要使只需使得
对当
时,
有
所以
解析
考查要点:本题主要考查利用函数极限的定义进行严格证明的能力,需要掌握代数变形和不等式放缩的技巧。
解题核心思路:
- 极限定义:对任意给定的$\varepsilon > 0$,找到$\delta > 0$,使得当$0 < |x - a| < \delta$时,$|f(x) - L| < \varepsilon$。
- 关键步骤:将$|f(x) - L|$通过代数变形转化为与$|x - a|$相关联的表达式,从而确定$\delta$与$\varepsilon$的关系。
第(1)题
目标:证明$\lim _{x\rightarrow 3}(3x-1)=8$
步骤1:表达差值
计算$|(3x - 1) - 8| = |3x - 9| = 3|x - 3|$。
步骤2:关联$\varepsilon$与$\delta$
要使$3|x - 3| < \varepsilon$,只需$|x - 3| < \dfrac{\varepsilon}{3}$。
步骤3:确定$\delta$
取$\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$,则当$0 < |x - 3| < \delta$时,$|(3x - 1) - 8| < \varepsilon$。
第(2)题
目标:证明$\lim _{x\rightarrow -2}\dfrac{x^{2}-4}{x+2}=-4$
步骤1:化简表达式
分子因式分解:$\dfrac{x^{2} - 4}{x + 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$(当$x \neq -2$时)。
步骤2:计算差值
$|(x - 2) - (-4)| = |x + 2|$。
步骤3:关联$\varepsilon$与$\delta$
要使$|x + 2| < \varepsilon$,直接取$\delta = \varepsilon$,则当$0 < |x + 2| < \delta$时,差值满足条件。