1.求方程 dfrac (dy)(dx)=x+(y)^2 通过点(0,0)的第三次近似解.

步骤 1：定义初始条件和初始近似解
给定方程 $\dfrac {dy}{dx}=x+{y}^{2}$ 通过点(0,0)，即初始条件为 $y(0)=0$。我们首先定义初始近似解 ${\varphi }_{0}(x)=0$。

步骤 2：计算第一次近似解
根据 Picard 迭代法，第一次近似解 ${\varphi }_{1}(x)$ 可以通过积分初始条件和初始近似解得到：
\[
{\varphi }_{1}(x) = y_0 + \int_{0}^{x} [t + {\varphi }_{0}^{2}(t)] dt = 0 + \int_{0}^{x} (t + 0) dt = \frac{1}{2}x^2
\]

步骤 3：计算第二次近似解
第二次近似解 ${\varphi }_{2}(x)$ 可以通过积分第一次近似解得到：
\[
{\varphi }_{2}(x) = y_0 + \int_{0}^{x} [t + {\varphi }_{1}^{2}(t)] dt = 0 + \int_{0}^{x} \left(t + \left(\frac{1}{2}t^2\right)^2\right) dt = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x^5
\]

步骤 4：计算第三次近似解
第三次近似解 ${\varphi }_{3}(x)$ 可以通过积分第二次近似解得到：
\[
{\varphi }_{3}(x) = y_0 + \int_{0}^{x} [t + {\varphi }_{2}^{2}(t)] dt = 0 + \int_{0}^{x} \left(t + \left(\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{20}t^5\right)^2\right) dt
\]
\[
= \int_{0}^{x} \left(t + \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{20}t^7 + \frac{1}{400}t^{10}\right) dt = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{20}x^5 + \frac{1}{160}x^8 + \frac{1}{4400}x^{11}
\]