题目
已知直线x-my+1=0与⊙C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为(8)/(5)”的m的一个值 ____ ．
已知直线x-my+1=0与⊙C：（x-1）2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为$\frac{8}{5}$”的m的一个值 ____ ．
题目解答
答案
解：由圆C：（x-1）2+y2=4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r=2，
因为△ABC的面积为$\frac{8}{5}$，可得S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠ACB=$\frac{8}{5}$，
解得sin∠ACB=$\frac{4}{5}$，设$\frac{1}{2}$∠ACB=θ所以∴2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，
可得$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，∴$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{5}$，∴tanθ=$\frac{1}{2}$或tanθ=2，
∴cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$或cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴圆心眼到直线x-my+1=0的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得m=±$\frac{1}{2}$或m=±2．
故答案为：2（或-2或$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$）．
因为△ABC的面积为$\frac{8}{5}$，可得S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠ACB=$\frac{8}{5}$，
解得sin∠ACB=$\frac{4}{5}$，设$\frac{1}{2}$∠ACB=θ所以∴2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，
可得$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，∴$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{5}$，∴tanθ=$\frac{1}{2}$或tanθ=2，
∴cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$或cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴圆心眼到直线x-my+1=0的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得m=±$\frac{1}{2}$或m=±2．
故答案为：2（或-2或$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$）．
解析
步骤 1：确定圆心和半径
圆C的方程为（x-1）^{2}+y^{2}=4，圆心坐标为C（1，0），半径为r=2。
步骤 2：计算△ABC的面积
△ABC的面积为$\frac{8}{5}$，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠ACB=$\frac{8}{5}$，解得sin∠ACB=$\frac{4}{5}$。
步骤 3：计算∠ACB的一半
设$\frac{1}{2}$∠ACB=θ，所以2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，可得$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，解得tanθ=$\frac{1}{2}$或tanθ=2，所以cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$或cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$。
步骤 4：计算圆心到直线的距离
圆心到直线x-my+1=0的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{5}}$，所以$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得m=±$\frac{1}{2}$或m=±2。
圆C的方程为（x-1）^{2}+y^{2}=4，圆心坐标为C（1，0），半径为r=2。
步骤 2：计算△ABC的面积
△ABC的面积为$\frac{8}{5}$，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠ACB=$\frac{8}{5}$，解得sin∠ACB=$\frac{4}{5}$。
步骤 3：计算∠ACB的一半
设$\frac{1}{2}$∠ACB=θ，所以2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，可得$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，解得tanθ=$\frac{1}{2}$或tanθ=2，所以cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$或cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$。
步骤 4：计算圆心到直线的距离
圆心到直线x-my+1=0的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{5}}$，所以$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$或$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得m=±$\frac{1}{2}$或m=±2。