题目

设A ,B是两事件且P( A )=0.6,P( B )=0.7，问(1)在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少?

题目解答

由 A , B 两事件的概率可知，A，B两事件相容。利用加法公式，有 $P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)$ 。

(1)由 $P(B)=0.7,P(A)=0.6$ ，

可知 $P(B)>P(A)$ .

当 $A\subset B$ 时， $AB=A,AUB=B$ , $P(AUB)=P\left(B\right)$ 为最小，此时 $P\left(AB\right)$ 为最大，故

$P(AB)|_{\max}=P(A)=0.6$ .

(2)因为 $P(B)\le P(AUB)\le1$ ，

故当 $P(AUB)=1$ 时， $P\left(AB\right)$ 最小，且 $P(AB)|_{\min}=P(A)+P(B)-1=0.3$ .

考查要点：本题主要考查两个事件交集概率的极值问题，涉及概率的基本性质、事件包含关系及并集概率的范围。

解题核心思路：

利用加法公式：将交集概率$P(AB)$表示为$P(A) + P(B) - P(A \cup B)$，通过分析$P(A \cup B)$的范围确定$P(AB)$的极值。
极值条件分析：
- 最大值：当$P(A \cup B)$取最小值时，$P(AB)$最大。此时需满足事件包含关系（如$A \subseteq B$）。
- 最小值：当$P(A \cup B)$取最大值时，$P(AB)$最小。此时需满足$P(A \cup B) = 1$（即两事件覆盖整个样本空间）。

破题关键点：

第（1）题：求$P(AB)$的最大值

根据加法公式变形

由概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
变形得：
$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).$

分析$P(A \cup B)$的最小值

要使$P(AB)$最大，需使$P(A \cup B)$最小。
当$A \subseteq B$时，$A \cup B = B$，此时：
$P(A \cup B) = P(B) = 0.7.$
代入公式得：
$P(AB) = 0.6 + 0.7 - 0.7 = 0.6.$

结论：当$A \subseteq B$时，$P(AB)$取得最大值$0.6$。

第（2）题：求$P(AB)$的最小值

分析$P(A \cup B)$的最大值

要使$P(AB)$最小，需使$P(A \cup B)$最大。
根据概率公理，$P(A \cup B) \leq 1$，当$A \cup B$覆盖整个样本空间时，$P(A \cup B) = 1$。

代入公式计算

此时：
$P(AB) = 0.6 + 0.7 - 1 = 0.3.$

结论：当$P(A \cup B) = 1$时，$P(AB)$取得最小值$0.3$。