设A ,B是两事件且P( A )=0.6,P( B )=0.7，问(1)在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少?

考查要点：本题主要考查两个事件交集概率的极值问题，涉及概率的基本性质、事件包含关系及并集概率的范围。

解题核心思路：

1. 利用加法公式：将交集概率$P(AB)$表示为$P(A) + P(B) - P(A \cup B)$，通过分析$P(A \cup B)$的范围确定$P(AB)$的极值。
2. 极值条件分析：
   • 最大值：当$P(A \cup B)$取最小值时，$P(AB)$最大。此时需满足事件包含关系（如$A \subseteq B$）。
   • 最小值：当$P(A \cup B)$取最大值时，$P(AB)$最小。此时需满足$P(A \cup B) = 1$（即两事件覆盖整个样本空间）。

破题关键点：

• 事件包含关系直接影响并集概率的最小值。
• 并集概率的范围由概率公理决定，最大不超过1。

第（1）题：求$P(AB)$的最大值

根据加法公式变形

由概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
变形得：
$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).$

分析$P(A \cup B)$的最小值

要使$P(AB)$最大，需使$P(A \cup B)$最小。
当$A \subseteq B$时，$A \cup B = B$，此时：
$P(A \cup B) = P(B) = 0.7.$
代入公式得：
$P(AB) = 0.6 + 0.7 - 0.7 = 0.6.$

结论：当$A \subseteq B$时，$P(AB)$取得最大值$0.6$。

第（2）题：求$P(AB)$的最小值

分析$P(A \cup B)$的最大值

要使$P(AB)$最小，需使$P(A \cup B)$最大。
根据概率公理，$P(A \cup B) \leq 1$，当$A \cup B$覆盖整个样本空间时，$P(A \cup B) = 1$。

代入公式计算

此时：
$P(AB) = 0.6 + 0.7 - 1 = 0.3.$

结论：当$P(A \cup B) = 1$时，$P(AB)$取得最小值$0.3$。