题目
设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧(theta =dfrac (pi )(2)leqslant theta leqslant dfrac (pi )(2))与直线theta =dfrac (pi )(2)leqslant theta leqslant dfrac (pi )(2)所围成, 它的面密度为μ(x, y)=x2+y2. 求这薄片的质量.
设平面薄片所占的闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧(
)与直线
所围成, 它的面密度为μ(x, y)=x2+y2. 求这薄片的质量.
题目解答
答案
解 区域如图所示. 在极坐标下
, 所以所求质量
.
解析
步骤 1：确定区域D的极坐标表示
根据题目描述，闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧($0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}$)与直线$\theta =\dfrac {\pi }{2}$所围成。因此，区域D在极坐标下的表示为$D=\{ (\rho ,\theta )\quad 0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2},0\leqslant \rho \leqslant 2\theta \} $。
步骤 2：将面密度函数转换为极坐标形式
面密度函数μ(x, y)=x2+y2在极坐标下表示为μ(ρ, θ)=ρ2，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+y2=ρ2。
步骤 3：计算薄片的质量
薄片的质量M可以通过二重积分计算，即$M={\iint }_{D}\mu (x,y)d\sigma $。在极坐标下，二重积分可以表示为$M={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\theta }{\rho }^{2}\cdot \rho d\theta $。其中，ρ2是面密度函数，ρdρdθ是极坐标下的面积元素。
步骤 4：执行积分计算
$M={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\theta }{\rho }^{3}d\theta ={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta \left[ \dfrac {{\rho }^{4}}{4} \right]_{0}^{2\theta }={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\theta }^{4}d\theta =4\left[ \dfrac {{\theta }^{5}}{5} \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}=\dfrac {{\pi }^{5}}{40}$。
根据题目描述，闭区域D由螺线ρ=2θ上一段弧($0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}$)与直线$\theta =\dfrac {\pi }{2}$所围成。因此，区域D在极坐标下的表示为$D=\{ (\rho ,\theta )\quad 0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2},0\leqslant \rho \leqslant 2\theta \} $。
步骤 2：将面密度函数转换为极坐标形式
面密度函数μ(x, y)=x2+y2在极坐标下表示为μ(ρ, θ)=ρ2，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+y2=ρ2。
步骤 3：计算薄片的质量
薄片的质量M可以通过二重积分计算，即$M={\iint }_{D}\mu (x,y)d\sigma $。在极坐标下，二重积分可以表示为$M={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\theta }{\rho }^{2}\cdot \rho d\theta $。其中，ρ2是面密度函数，ρdρdθ是极坐标下的面积元素。
步骤 4：执行积分计算
$M={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{2\theta }{\rho }^{3}d\theta ={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta \left[ \dfrac {{\rho }^{4}}{4} \right]_{0}^{2\theta }={\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}4{\theta }^{4}d\theta =4\left[ \dfrac {{\theta }^{5}}{5} \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}=\dfrac {{\pi }^{5}}{40}$。