计算下列对坐标的曲线积分:-|||-(int )_(L)((x)^2-2xy)dx+((y)^2-2xy)dy, 其中L是抛物线 =(x)^2 上从点 (-1,1)-|||-到点(1,1)的一段弧.

考查要点：本题主要考查对坐标的曲线积分的计算方法，涉及参数方程法和对称性简化积分的技巧。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：将抛物线段$y = x^2$用参数$x$表示，将曲线积分转化为关于$x$的定积分。
2. 变量代换：将被积函数中的$y$替换为$x^2$，并用$dy = 2x \, dx$替换$dy$。
3. 对称性简化：利用被积函数的奇偶性，将对称区间$[-1,1]$的积分转化为非对称区间的计算，减少计算量。

破题关键点：

• 正确代换：确保将$y$和$dy$正确代入被积函数。
• 奇偶性判断：识别被积函数中奇函数和偶函数的部分，利用对称区间积分性质简化计算。

参数化曲线

抛物线段$L$的参数方程为：
$y = x^2, \quad dy = 2x \, dx, \quad x \in [-1, 1].$

代换被积函数

将$y = x^2$代入被积函数：

1. $dx$部分：
   $x^2 - 2xy = x^2 - 2x \cdot x^2 = x^2 - 2x^3.$
2. $dy$部分：
   $y^2 - 2xy = (x^2)^2 - 2x \cdot x^2 = x^4 - 2x^3.$
   再乘以$dy = 2x \, dx$，得：
   $(x^4 - 2x^3) \cdot 2x \, dx = (2x^5 - 4x^4) \, dx.$

合并积分表达式

将两部分合并，原积分变为：
$\int_{-1}^{1} \left[ (x^2 - 2x^3) + (2x^5 - 4x^4) \right] dx = \int_{-1}^{1} (2x^5 - 4x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx.$

利用对称性简化

被积函数分解为奇函数和偶函数：

• 奇函数部分：$2x^5 - 2x^3$，在对称区间积分结果为$0$。
• 偶函数部分：$-4x^4 + x^2$，积分可简化为：
  $2 \int_{0}^{1} (-4x^4 + x^2) \, dx.$

计算定积分

计算偶函数部分的积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} (-4x^4 + x^2) \, dx &= \left[ -\frac{4}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} \\&= -\frac{4}{5} + \frac{1}{3} = -\frac{12}{15} + \frac{5}{15} = -\frac{7}{15}.\end{aligned}$
最终结果为：
$2 \cdot \left( -\frac{7}{15} \right) = -\frac{14}{15}.$