求函数 (x)=(x)^2ln (1+x) 在 x=0 处的n阶导数 '(n)(0)(ngeqslant 3

考查要点：本题主要考查函数在某点的高阶导数求解，特别是利用泰勒展开（麦克劳林级数）的方法简化高阶导数的计算。

解题核心思路：

1. 将函数分解为已知泰勒展开式的乘积：将$f(x) = x^2 \ln(1+x)$拆分为$x^2$与$\ln(1+x)$的乘积。
2. 展开$\ln(1+x)$的麦克劳林级数：利用已知的$\ln(1+x)$的展开式，将其与$x^2$相乘，得到$f(x)$的幂级数表达式。
3. 提取$x^n$项的系数：通过级数中$x^n$项的系数与高阶导数的关系，直接求出$f^{(n)}(0)$。

破题关键点：

• 避免直接求高阶导数：直接求高阶导数会因复杂度高而难以处理，转而通过级数展开更高效。
• 正确处理级数的起始项：注意$\ln(1+x)$展开后从$x^1$开始，与$x^2$相乘后起始项为$x^3$，需对应$n \geq 3$的条件。

1. 展开$\ln(1+x)$的麦克劳林级数
   $\ln(1+x)$的展开式为：
   $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k \quad (|x| < 1)$

2. 与$x^2$相乘得到$f(x)$的级数
   将$x^2$乘以$\ln(1+x)$的展开式：
   $f(x) = x^2 \cdot \ln(1+x) = x^2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k+2}$

3. 调整求和指标
   令$m = k + 2$，则$k = m - 2$，当$k \geq 1$时，$m \geq 3$。级数变为：
   $f(x) = \sum_{m=3}^{\infty} \frac{(-1)^{(m-2)+1}}{m-2} x^m = \sum_{m=3}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m-2} x^m$

4. 提取$x^n$项的系数
   当$n \geq 3$时，$x^n$项的系数为$\frac{(-1)^{n-1}}{n-2}$。根据麦克劳林级数的通项公式：
   $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n-1}}{n-2}$
   解得：
   $f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n!}{n-2}$