求不定积分int dfrac (2{x)^2cos 4x-3}({x)^2}dx

考查要点：本题主要考查不定积分的基本性质和积分技巧，特别是分式拆分与分项积分的能力，以及对基本积分公式的熟练应用。

解题核心思路：

1. 分式拆分：将被积函数的分子拆分为两个部分，分别除以分母，从而将原积分转化为两个更简单的积分之和。
2. 逐项积分：分别对拆分后的两个积分应用基本积分公式，其中涉及三角函数积分和幂函数积分。
3. 合并结果：将两个积分的结果相加，并添加积分常数。

破题关键点：

• 正确拆分分子：通过分子分母约简简化被积函数。
• 熟练应用积分公式：如$\int \cos(ax) dx = \frac{\sin(ax)}{a} + C$和$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）。

步骤1：拆分被积函数
将原积分拆分为两个积分之差：
$\int \frac{2x^2 \cos 4x - 3}{x^2} dx = \int \frac{2x^2 \cos 4x}{x^2} dx - \int \frac{3}{x^2} dx.$

步骤2：简化被积函数
约简分式中的$x^2$：
$\int 2 \cos 4x \, dx - \int \frac{3}{x^2} dx.$

步骤3：逐项积分

1. 第一项积分：
   应用三角函数积分公式$\int \cos(ax) dx = \frac{\sin(ax)}{a} + C$：
   $\int 2 \cos 4x \, dx = 2 \cdot \frac{\sin 4x}{4} = \frac{\sin 4x}{2}.$

2. 第二项积分：
   将$\frac{3}{x^2}$写成$3x^{-2}$，应用幂函数积分公式$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）：
   $\int \frac{3}{x^2} dx = 3 \int x^{-2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x}.$

步骤4：合并结果
将两部分积分结果相加，并添加积分常数$C$：
$\frac{\sin 4x}{2} + \frac{3}{x} + C.$