题目
已知非齐次线性方程组_(1)+2(x)_(2)-4(x)_(3)-5(x)_(4)=-6-|||-_(2)-(x)_(3)-2(x)_(4)=-2-|||-(x)_(1)+5(x)_(2)-9(x)_(3)-12(x)_(4)=-14-|||-__-|||-_(1)+3(x)_(2)-5(x)_(3)+a(x)_(4)=-8（1）a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2？（5分）（2）对于（1）中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。（5分）
已知非齐次线性方程组
（1）a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2？（5分）
（2）对于（1）中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。（5分）
题目解答
答案
（1）根据题意可知，齐次线性方程组的解空间维数为2，即基础解系中含有的向量的个数为2，根据基础解系中含有的向量的个数等于未知数的个数n减去系数矩阵A的秩，即
，所以
，所以
，所以
，解得
。
（2）由（1）知，，所以增广矩阵B=(A,b)=
，得到
，所以基础解系为：令
，则
，得
；令
，则
，
，得
；特解
为：令，则
，所以该非齐次线性方程组的通解为
解析
步骤 1：确定齐次线性方程组的解空间维数
根据题意，齐次线性方程组的解空间维数为2，即基础解系中含有的向量的个数为2。根据基础解系中含有的向量的个数等于未知数的个数n减去系数矩阵A的秩，即=n-r(A)=4-r(A)，所以(A)=2。
步骤 2：计算系数矩阵A的秩
系数矩阵A为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 & -5 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
2 & 5 & -9 & -12 \\
1 & 3 & -5 & a
\end{pmatrix}
$$
通过初等行变换，将矩阵A化简为阶梯形矩阵，计算其秩。
步骤 3：求解a的值
根据步骤2中计算出的秩，确定a的值，使得秩为2。
步骤 4：求解非齐次线性方程组的通解
将a的值代入非齐次线性方程组，通过初等行变换，求解非齐次线性方程组的通解。
根据题意，齐次线性方程组的解空间维数为2，即基础解系中含有的向量的个数为2。根据基础解系中含有的向量的个数等于未知数的个数n减去系数矩阵A的秩，即=n-r(A)=4-r(A)，所以(A)=2。
步骤 2：计算系数矩阵A的秩
系数矩阵A为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 & -5 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
2 & 5 & -9 & -12 \\
1 & 3 & -5 & a
\end{pmatrix}
$$
通过初等行变换，将矩阵A化简为阶梯形矩阵，计算其秩。
步骤 3：求解a的值
根据步骤2中计算出的秩，确定a的值，使得秩为2。
步骤 4：求解非齐次线性方程组的通解
将a的值代入非齐次线性方程组，通过初等行变换，求解非齐次线性方程组的通解。