17.f(x)=(tan x)/(1+x^2)在x=0处的3次泰勒多项式为____

考查要点：本题主要考查泰勒多项式的展开方法，特别是两个函数乘积的泰勒展开技巧。需要掌握常见函数（如$\tan x$和$\frac{1}{1+x^2}$）的泰勒展开式，并能正确进行多项式乘法运算，合并同类项。

解题核心思路：

1. 分别展开两个因子：将$\tan x$和$\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处展开到足够高的阶数（至少到$x^3$项）。
2. 逐项相乘并截断：将两个展开式相乘，保留到$x^3$项，舍去更高阶的小项。
3. 合并同类项：整理结果，得到最终的三次泰勒多项式。

破题关键点：

• 正确展开$\tan x$和$\frac{1}{1+x^2}$：需记忆或推导出它们的泰勒展开式。
• 乘积展开时注意阶数控制：确保所有乘积项中次数超过3的项被舍弃。
• 合并同类项时避免计算错误：特别注意系数的符号和数值。

步骤1：展开$\tan x$的泰勒多项式
$\tan x$在$x=0$处的泰勒展开式为：
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

步骤2：展开$\frac{1}{1+x^2}$的泰勒多项式
利用几何级数展开：
$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + o(x^2)$

步骤3：将两个展开式相乘
将$\tan x$和$\frac{1}{1+x^2}$的展开式相乘，保留到$x^3$项：
$\begin{aligned}f(x) &= \left( x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \right) \left( 1 - x^2 + o(x^2) \right) \\&= x \cdot 1 + x \cdot (-x^2) + \frac{x^3}{3} \cdot 1 + o(x^3) \\&= x - x^3 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\end{aligned}$

步骤4：合并同类项
将$x^3$项合并：
$f(x) = x - \frac{2}{3}x^3 + o(x^3)$