题目

设奇函数 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，且 f(1)=1 ，证明：(1)存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ；(2)存在 η∈(−1,1) ，使得 f ″ (η)+f′(η)=1.

设奇函数 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，且 f(1)=1 ，证明：

(1)存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ；

(2)存在 η∈(−1,1) ，使得 f ″ (η)+f′(η)=1.

题目解答

答案

证明：(1)由于 f(x) 为奇函数，则 f(0)=0 ，由于 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=f(1)−f(0)1−0=1，

(2)由于 f(x) 为奇函数，则 f′(x) 为偶函数，由(1)可知存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ，且 f′(−ξ)=1 ，

令 φ(x)=f′(x)+f(x) ，由条件显然可知在 φ(x) 在 [−1,1] 上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在 η∈(−1,1) ，使得 φ(1)−φ(−1)1−(−1)=φ′(η) 成立， φ(1)−φ(−1)=f′(1)+f(1)−f′(−1)−f(−1)=2f(1)=2，

从而 φ′(η)=1 成立，即 f′′(η)+f′(η)=1

解析

考查要点：本题主要考查奇函数的性质、拉格朗日中值定理的应用，以及通过构造辅助函数解决微分中值问题的能力。

解题思路：

第一问：利用奇函数在原点处的函数值特性（$f(0)=0$），结合拉格朗日中值定理，在区间$[0,1]$上建立平均变化率与导数的关系。
第二问：通过分析奇函数的导数性质（$f'(x)$为偶函数，$f''(x)$为奇函数），构造辅助函数$\phi(x)=f'(x)+f(x)$，利用其导数特性再次应用拉格朗日中值定理。

破题关键：

奇函数性质：$f(0)=0$，$f'(-x)=f'(x)$，$f''(-x)=-f''(x)$。
中值定理的应用：通过函数值的差值与导数的关联，建立方程。

第（1）题

利用奇函数性质

由$f(x)$为奇函数，得$f(-x)=-f(x)$，特别地，当$x=0$时，$f(0)=-f(0)$，故$f(0)=0$。

应用拉格朗日中值定理

在区间$[0,1]$上，$f(x)$连续且可导，根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得：
$f'(\xi) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{1-0}{1} = 1.$

第（2）题

分析导数的奇偶性

$f(x)$为奇函数，求导得$f'(-x)=f'(x)$（偶函数）。
对$f'(x)$再次求导，得$f''(-x)=-f''(x)$（奇函数）。

构造辅助函数

定义$\phi(x)=f'(x)+f(x)$，则$\phi(x)$在$[-1,1]$上可导，且：
$\phi'(x) = f''(x) + f'(x).$

应用拉格朗日中值定理

计算$\phi(1)$与$\phi(-1)$：
$\begin{aligned}\phi(1) &= f'(1) + f(1), \\\phi(-1) &= f'(-1) + f(-1) = f'(1) - 1 \quad (\text{因$f'(x)$为偶函数，$f(-1)=-1$}).\end{aligned}$
因此：
$\phi(1) - \phi(-1) = [f'(1)+1] - [f'(1)-1] = 2.$
根据拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (-1,1)$，使得：
$\phi'(\eta) = \frac{\phi(1)-\phi(-1)}{1-(-1)} = \frac{2}{2} = 1.$
即：
$f''(\eta) + f'(\eta) = 1.$