题目

设奇函数 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，且 f(1)=1 ，证明：(1)存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ；(2)存在 η∈(−1,1) ，使得 f ″ (η)+f′(η)=1.

设奇函数 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，且 f(1)=1 ，证明：

(1)存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ；

(2)存在 η∈(−1,1) ，使得 f ″ (η)+f′(η)=1.

题目解答

答案

证明：(1)由于 f(x) 为奇函数，则 f(0)=0 ，由于 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=f(1)−f(0)1−0=1，

(2)由于 f(x) 为奇函数，则 f′(x) 为偶函数，由(1)可知存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ，且 f′(−ξ)=1 ，

令 φ(x)=f′(x)+f(x) ，由条件显然可知在 φ(x) 在 [−1,1] 上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在 η∈(−1,1) ，使得 φ(1)−φ(−1)1−(−1)=φ′(η) 成立， φ(1)−φ(−1)=f′(1)+f(1)−f′(−1)−f(−1)=2f(1)=2，

从而 φ′(η)=1 成立，即 f′′(η)+f′(η)=1

解析

步骤 1：证明存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1
由于 f(x) 为奇函数，则 f(0)=0 。由于 f(x) 在 [−1,1] 上具有二阶导数，由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=f(1)−f(0)1−0=1。

步骤 2：证明存在 η∈(−1,1) ，使得 f ″ (η)+f′(η)=1
由于 f(x) 为奇函数，则 f′(x) 为偶函数。由步骤 1 可知存在 ξ∈(0,1) ，使得 f′(ξ)=1 ，且 f′(−ξ)=1 。令 φ(x)=f′(x)+f(x) ，由条件显然可知在 φ(x) 在 [−1,1] 上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在 η∈(−1,1) ，使得 φ(1)−φ(−1)1−(−1)=φ′(η) 成立。φ(1)−φ(−1)=f′(1)+f(1)−f′(−1)−f(−1)=2f(1)=2，从而 φ′(η)=1 成立，即 f′′(η)+f′(η)=1。