题目
如图，已知P是 triangle ABC内任意一点，求证：AB+AC > PB+PC.A-|||-P-|||-B C
如图，已知$P$是$ triangle ABC$内任意一点，求证：$AB+AC > PB+PC$.
题目解答
答案
如图，延长$BP$交$AC$于点$D$，
在$triangle ABD$中，$AB+AD > BD$，
即$ AB+AD > PB+PD$. ①
在$triangle PCD$中，$PD+CD > PC$，②
由①$+$②得$AB+AD+PD+CD > PB+PD+PC$，
所以$AB+AD+CD > PB+PC$，
即$AB+AC > PB+PC$.
在$triangle ABD$中，$AB+AD > BD$，
即$ AB+AD > PB+PD$. ①
在$triangle PCD$中，$PD+CD > PC$，②
由①$+$②得$AB+AD+PD+CD > PB+PD+PC$，
所以$AB+AD+CD > PB+PC$，
即$AB+AC > PB+PC$.
解析
考查要点：本题主要考查三角形不等式（两边之和大于第三边）的应用，以及通过构造辅助线将复杂图形转化为基本三角形的能力。
解题核心思路：
- 构造辅助线：延长$BP$交$AC$于点$D$，将点$P$与边$AC$关联，形成两个新的三角形$ABD$和$PCD$。
- 应用三角形不等式：分别在两个三角形中应用三角形不等式，得到两个不等式。
- 不等式叠加消元：将两个不等式相加，消去中间量$PD$，最终推导出目标结论。
破题关键点：
- 延长线的构造：通过延长$BP$与$AC$交于$D$，将内部点$P$与边$AC$建立联系。
- 分步应用不等式：分别在$\triangle ABD$和$\triangle PCD$中应用三角形不等式，为后续叠加创造条件。
构造辅助线
延长$BP$交$AC$于点$D$，如下图所示：
A
| \
| \
P---D
| /
| /
B---C在$\triangle ABD$中应用三角形不等式
在$\triangle ABD$中，根据三角形不等式：
$AB + AD > BD$
由于$BD = BP + PD$，代入得：
$AB + AD > BP + PD \quad \text{①}$
在$\triangle PCD$中应用三角形不等式
在$\triangle PCD$中，根据三角形不等式：
$PD + CD > PC \quad \text{②}$
不等式叠加消元
将①和②相加：
$(AB + AD) + (PD + CD) > (BP + PD) + PC$
整理左边和右边：
$AB + AD + CD + PD > BP + PC + PD$
两边同时减去$PD$：
$AB + (AD + CD) > BP + PC$
由于$AD + CD = AC$，因此：
$AB + AC > BP + PC$