题目
计算下列二重积分:-|||-xy^2dσ,其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及y轴所围成的右半闭区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D是由圆周${x}^{2}+{y}^{2}=4$及y轴所围成的右半闭区域。这意味着x的取值范围是从0到2，而y的取值范围是从$-\sqrt{4-x^2}$到$\sqrt{4-x^2}$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，我们可以设置二重积分为：
$$\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}xy^2dydx$$
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对y的积分：
$$\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}xy^2dy$$
由于$y^2$是偶函数，积分区间关于y轴对称，因此可以简化为：
$$2\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}xy^2dy$$
计算这个积分，得到：
$$2x\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{\sqrt{4-x^2}} = 2x\left(\frac{(\sqrt{4-x^2})^3}{3}\right) = \frac{2x(4-x^2)^{3/2}}{3}$$
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对x的积分：
$$\int_{0}^{2}\frac{2x(4-x^2)^{3/2}}{3}dx$$
为了计算这个积分，我们可以使用换元法。设$u=4-x^2$，则$du=-2xdx$，积分变为：
$$-\frac{1}{3}\int_{4}^{0}u^{3/2}du$$
计算这个积分，得到：
$$-\frac{1}{3}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{4}^{0} = -\frac{1}{3}\left(\frac{2}{5}(0)^{5/2} - \frac{2}{5}(4)^{5/2}\right) = \frac{2}{15}(4)^{5/2} = \frac{2}{15} \cdot 32 = \frac{64}{15}$$
积分区域D是由圆周${x}^{2}+{y}^{2}=4$及y轴所围成的右半闭区域。这意味着x的取值范围是从0到2，而y的取值范围是从$-\sqrt{4-x^2}$到$\sqrt{4-x^2}$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，我们可以设置二重积分为：
$$\int_{0}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}xy^2dydx$$
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分，即对y的积分：
$$\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}xy^2dy$$
由于$y^2$是偶函数，积分区间关于y轴对称，因此可以简化为：
$$2\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}xy^2dy$$
计算这个积分，得到：
$$2x\left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{\sqrt{4-x^2}} = 2x\left(\frac{(\sqrt{4-x^2})^3}{3}\right) = \frac{2x(4-x^2)^{3/2}}{3}$$
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分，即对x的积分：
$$\int_{0}^{2}\frac{2x(4-x^2)^{3/2}}{3}dx$$
为了计算这个积分，我们可以使用换元法。设$u=4-x^2$，则$du=-2xdx$，积分变为：
$$-\frac{1}{3}\int_{4}^{0}u^{3/2}du$$
计算这个积分，得到：
$$-\frac{1}{3}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{4}^{0} = -\frac{1}{3}\left(\frac{2}{5}(0)^{5/2} - \frac{2}{5}(4)^{5/2}\right) = \frac{2}{15}(4)^{5/2} = \frac{2}{15} \cdot 32 = \frac{64}{15}$$