(2)设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且 (int )_(0)^1f(x)dx=0, 则-|||-(A)当 '(x)lt 0 时, (dfrac (1)(2))lt 0. (B)当 ''(x)lt 0 时, (dfrac (1)(2))lt 0.-|||-(C)当 '(x)gt 0 时, (dfrac (1)(2))lt 0. (D)当 ''(x)gt 0 时, (dfrac (1)(2))lt 0.A、AB、BC、CD、D

本题考查定积分与导数性质的综合应用，核心思路是通过积分条件结合函数的凹凸性或单调性来判断中间点的函数值符号。关键点在于：

1. 积分条件：$\int_0^1 f(x)dx=0$，说明函数在区间上的整体平均值为0；
2. 导数条件：通过一阶或二阶导数的符号，确定函数的单调性或凹凸性；
3. 特殊点分析：结合函数性质，推断中间点$x=\dfrac{1}{2}$处的函数值符号。

选项分析

选项D（正确）

当$f''(x) > 0$时，函数$f(x)$在$[0,1]$上凹向上。

• 凹函数满足：对任意$x \in [0,1]$，有
  $f\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{f(0) + f(1)}{2}.$
• 由积分条件$\int_0^1 f(x)dx=0$，若$f(0) > 0$且$f(1) < 0$（或反之），则中间点$f\left(\frac{1}{2}\right)$必然小于两端的平均值，故$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$。

选项A、B（错误）

当$f'(x) < 0$时，$f(x)$单调递减。

• 若$f(0) > 0$且$f(1) < 0$，积分$\int_0^1 f(x)dx=0$，但$f\left(\frac{1}{2}\right)$可能为正、负或零。
• 反例：取$f(x) = -kx + \frac{k}{2}$（$k > 0$），此时$f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$，与选项矛盾。

选项C（错误）

当$f'(x) > 0$时，$f(x)$单调递增。

• 同理，若$f(0) < 0$且$f(1) > 0$，积分$\int_0^1 f(x)dx=0$，但$f\left(\frac{1}{2}\right)$可能为正、负或零。
• 反例：取$f(x) = kx - \frac{k}{2}$（$k > 0$），此时$f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$，与选项矛盾。