题目
[题目]求函数 (x)=(x)^3-3(x)^2-9x+1 的极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{3}-3{x}^{2}-9x+1$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x)=3{x}^{2}-6x-9$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 $f'(x)$ 的零点，即求解方程 $f'(x)=0$。将 $f'(x)$ 的表达式代入，我们得到：
$$3{x}^{2}-6x-9=0$$
这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来求解。二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
将 $a=3$，$b=-6$，$c=-9$ 代入，我们得到：
$$x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\times3\times(-9)}}{2\times3}$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}{6}$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{144}}{6}$$
$$x=\frac{6\pm12}{6}$$
因此，我们得到两个解：
$$x=-1$$
$$x=3$$
步骤 3：判断极值
现在，我们需要判断这两个点是否为极值点。为此，我们需要检查导数 $f'(x)$ 在这两个点附近的符号变化。根据导数的符号变化，我们可以判断函数的增减性，从而确定极值点。
当 $x\in (-\infty ,-1)$ 时，$f'(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
当 $x\in (-1,3)$ 时，$f'(x)\lt 0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
当 $x\in (3,+\infty )$ 时，$f'(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。
因此，$x=-1$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，$x=3$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点。
步骤 4：计算极值
最后，我们需要计算这两个极值点的函数值，即 $f(-1)$ 和 $f(3)$。
$$f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+1=6$$
$$f(3)=3^{3}-3\times3^{2}-9\times3+1=-26$$
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{3}-3{x}^{2}-9x+1$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x)=3{x}^{2}-6x-9$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数 $f'(x)$ 的零点，即求解方程 $f'(x)=0$。将 $f'(x)$ 的表达式代入，我们得到：
$$3{x}^{2}-6x-9=0$$
这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来求解。二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
将 $a=3$，$b=-6$，$c=-9$ 代入，我们得到：
$$x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\times3\times(-9)}}{2\times3}$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}{6}$$
$$x=\frac{6\pm\sqrt{144}}{6}$$
$$x=\frac{6\pm12}{6}$$
因此，我们得到两个解：
$$x=-1$$
$$x=3$$
步骤 3：判断极值
现在，我们需要判断这两个点是否为极值点。为此，我们需要检查导数 $f'(x)$ 在这两个点附近的符号变化。根据导数的符号变化，我们可以判断函数的增减性，从而确定极值点。
当 $x\in (-\infty ,-1)$ 时，$f'(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
当 $x\in (-1,3)$ 时，$f'(x)\lt 0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
当 $x\in (3,+\infty )$ 时，$f'(x)\gt 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。
因此，$x=-1$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，$x=3$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点。
步骤 4：计算极值
最后，我们需要计算这两个极值点的函数值，即 $f(-1)$ 和 $f(3)$。
$$f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+1=6$$
$$f(3)=3^{3}-3\times3^{2}-9\times3+1=-26$$