求函数(x,y)=4(x-y)-(x)^2-(y)^2的极值。

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括临界点的求解和极值类型的判定。

解题核心思路：

1. 求偏导数：分别对$x$和$y$求一阶偏导，联立方程求解临界点坐标。
2. 二阶偏导数检验：通过计算二阶偏导数构造Hessian矩阵，利用二阶导数判别法判断临界点是否为极值点及极值类型。

破题关键点：

• 正确求解一阶偏导数并解方程组得到临界点。
• 准确计算二阶偏导数，构造行列式$AC-B^2$，结合$A$的符号判断极值类型。

步骤1：求一阶偏导数并解方程组

1. 对$x$求偏导：
   $f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4 - 2x$
2. 对$y$求偏导：
   $f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4 - 2y$
3. 联立方程：
   $\begin{cases} 4 - 2x = 0 \\ -4 - 2y = 0 \end{cases}$
   解得：$x = 2$，$y = -2$，即临界点为$(2, -2)$。

步骤2：二阶偏导数检验

1. 计算二阶偏导数：
   $f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2$
2. 构造Hessian矩阵行列式：
   $AC - B^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0$
3. 判断极值类型：
   • 因为$A = f_{xx} = -2 < 0$，且$AC - B^2 > 0$，根据二阶导数判别法，$(2, -2)$是极大值点。

步骤3：计算极大值

将临界点代入原函数：
$f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 4 - 4 = 8$