求函数(x,y)=4(x-y)-(x)^2-(y)^2的极值。

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数$f(x,y)=4(x-y)-{x}^{2}-{y}^{2}$的偏导数。对于$x$的偏导数$f_x$，我们有：
$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 4 - 2x$$
对于$y$的偏导数$f_y$，我们有：
$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4 - 2y$$
步骤 2：求二阶偏导数
接下来，我们需要求出二阶偏导数，以便确定极值的性质。对于$f_{xx}$，我们有：
$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2$$
对于$f_{yy}$，我们有：
$$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$$
对于混合偏导数$f_{xy}$，我们有：
$$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$$
步骤 3：确定极值点
为了找到极值点，我们需要解方程组$f_x = 0$和$f_y = 0$。解这个方程组，我们得到：
$$4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2$$
$$-4 - 2y = 0 \Rightarrow y = -2$$
因此，极值点为$(2, -2)$。
步骤 4：确定极值的性质
为了确定极值的性质，我们需要计算$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。根据前面的计算，我们有：
$$D = (-2)(-2) - (0)^2 = 4$$
因为$D > 0$且$f_{xx} < 0$，所以函数在$(2, -2)$处有极大值。
步骤 5：计算极大值
最后，我们需要计算函数在极值点$(2, -2)$处的值。将$x = 2$和$y = -2$代入原函数，我们得到：
$$f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - (2)^2 - (-2)^2 = 16 - 4 - 4 = 8$$